[論文レビュー] Fractional elliptic equations, Caccioppoli estimates and regularity

Luis Caffarelli, Pablo Raúl Stinga|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、有界リプシッツ領域における発散型楕円型作用素 $ L = -\operatorname{div}(A(x)\nabla_x) $ の分数階累乗 $ L^s $、$ 0 < s < 1 $ に対して、内部および境界におけるシュードラー正則性推定を確立する。Caccioppoli推定、半群的アプローチ、拡張問題を用いる。係数、データ、領域境界の滑らかさに応じて解のホルダーおよびジグムント正則性を示し、基本解および積分微分表現に対する鋭い推定を提示する。

ABSTRACT

Let $L=-\operatorname{div}_x(A(x) abla_x)$ be a uniformly elliptic operator in divergence form in a bounded domain $Ω$. We consider the fractional nonlocal equations $$\begin{cases} L^su=f,&amp;\hbox{in}~Ω,\\ u=0,&amp;\hbox{on}~\partialΩ, \end{cases}\quad \hbox{and}\quad \begin{cases} L^su=f,&amp;\hbox{in}~Ω,\\ \partial_Au=0,&amp;\hbox{on}~\partialΩ. \end{cases}$$ Here $L^s$, $0

研究の動機と目的

• 分数非局所方程式 $ L^s u = f $、$ 0 < s < 1 $ に対する正則性理論を構築すること。ここで $ L $ は発散型で一様楕円型作用素である。
• ディリクレおよびノイマン境界条件の下で、解の内部および境界におけるホルダー正則性を確立すること。
• 正則性結果の中心的分析的道具として、鋭いCaccioppoli型推定を導出すること。
• 基本解および $ L^s $ のカーネルを特徴づけ、$ n \neq 2s $ のとき $ G_s(x,z) \sim |x-z|^{-(n-2s)} $ が成り立つことを示すこと。
• 拡張問題と半群言語を用いて、古典的Littman–Stampacchia–Weinberger理論を非局所分数作用素へと拡張すること。

提案手法

• 分数階累乗 $ L^s u $ を $ L^s u(x) = \frac{1}{\Gamma(-s)} \int_0^\infty \left( e^{-tL}u(x) - u(x) \right) \frac{dt}{t^{1+s}} $ の公式により半群言語で定義すること。
• 拡張問題を用いて、$ \Omega \times (0,\infty) $ における重み $ y^a $ を持つ退化楕円型方程式のディリクレ・トゥ・ノイマン写像として $ L^s u $ を表現すること。
• 非局所的相互作用を捉えるために、カーネル $ K_s(x,z) $ および $ B_s(x) $ を含む $ \langle L^s u, \psi \rangle $ の積分微分型公式を導出すること。
• 拡張問題に対するCaccioppoli推定を確立し、コンパクト性および近似議論を可能にする。
• 対称性を活用して、ノイマン問題のための偶関数の反射を用い、非局所ノイマン問題を $ \mathbb{R}^n $ 上の局所問題に還元すること。
• 拡張空間における調和関数による近似を用い、その後、拡張問題から元の問題へとブートストラップを適用して正則性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数行列 $ A(x) $、右辺 $ f $、領域境界 $ \partial\Omega $ の滑らかさに依存して、$ L^s u = f $ に対するシュードラー正則性推定はどのように変化するか？
• RQ2 分数作用素 $ L^s $ の基本解 $ G_s(x,z) $ の正確な挙動は何か？また、古典的 $ |x-z|^{-(n-2s)} $ 特性と比べてどうなるか？
• RQ3 非局所作用素 $ L^s $ はカーネル $ K_s(x,z) $ を含む積分微分型公式で表現可能か？そのカーネルの性質は何か？
• RQ4 重み $ y^a $ を持つ $ \Omega \times (0,\infty) $ における退化楕円型方程式を用いた $ L^s $ の拡張問題は、正則性および境界挙動の解析をどのように支援するか？
• RQ5 ディリクレ問題に対する正則性結果がノイマン問題へとどの程度拡張可能か？また、反射原理はこの場合にどのように役立つか？

主な発見

• $ f \in C^{0,\alpha}(\overline{\Omega}) $ のとき、$ \Omega $ におけるディリクレ境界条件を満たす $ L^s u = f $ の解 $ u $ は、$ \alpha + 2s < 1 $ であれば $ \|u\|_{C^{0,\alpha+2s}(\overline{\Omega})} \leq C\left( \|u\|_{L^\infty(\Omega)} + \|f\|_{C^{0,\alpha}(\overline{\Omega})} \right) $ を満たす。
• $ 1 < \alpha + 2s < 2 $ のとき、解 $ u $ は $ C^{1,\alpha+2s-1}(\overline{\Omega}) $ に属し、対応するノルム推定が成り立つ。
• $ f \in L^\infty(\Omega) $ のとき、$ 2s = 1 $ ならば解 $ u $ はザイムンド空間 $ \Lambda_* $ に属し、$ 0 < 2s < 1 $ ならば $ C^{0,2s}(\overline{\Omega}) $ に属する。ノルム推定は $ \|u\|_{L^\infty} $ および $ \|f\|_{L^\infty} $ に依存する。
• 基本解 $ G_s(x,z) $ は $ n \neq 2s $ のとき $ G_s(x,z) \sim |x-z|^{-(n-2s)} $ を満たし、$ n = 2s $ のときは対数的推定が成り立つ。これは期待されるスケーリングを確認する。
• $ L^s u $ の積分微分表現は $ \langle L^s u, \psi \rangle = \int_\Omega \int_\Omega (u(x)-u(z))(\psi(x)-\psi(z)) K_s(x,z) \, dx\,dz + \int_\Omega u(x)\psi(x) B_s(x) \, dx $ で与えられ、明示的なカーネル推定が得られる。
• ノイマン問題において、$ \int_\Omega f \, dx = 0 $ を満たす $ L_N^s u = f $ の解 $ u $ は、同様の正則性推定を満たす。特に $ 0 < 2s < 1 $ ならば $ u \in C^{0,2s}(\overline{\Omega}) $ であり、反射原理により問題が全空間上への還元が可能である。