[論文レビュー] Fractional Fourier transforms on $L^p$ and applications

Wei Chen, Zunwei Fu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2020

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$1 \leq p < 2$ における分数階フーリエ変換（FRFT）の $L^p$ 理論を確立し、$L^1$ における収束問題を、分数階近似恒等式および分数階ガウス平均やアベル平均などの手法によって克服する。FRFTの逆変換、点灯収束、分数階畳み込みの有界性を証明し、$L^p$乗数結果およびリトルウッド＝パaley定理を導出し、アベル平均を用いた chirp シグナル回復への応用を含む。

ABSTRACT

This paper is devoted to the $L^p(\mathbb R)$ theory of the fractional Fourier transform (FRFT) for $1\le p &lt; 2$. In view of the special structure of the FRFT, we study FRFT properties of $L^1$ functions, via the introduction of a suitable chirp operator. However, in the $L^1(\mathbb{R})$ setting, problems of convergence arise even when basic manipulations of functions are performed. We overcome such issues and study the FRFT inversion problem via approximation by suitable means, such as the fractional Gauss and Abel means. We also obtain the regularity of fractional convolution and results on pointwise convergence of FRFT means. Finally we discuss $L^p$ multiplier results and a Littlewood-Paley theorem associated with FRFT.

研究の動機と目的

• 実数直線上の $\mathbb{R}$ における $1 \leq p < 2$ の $L^p$ 理論を、$L^2$ を超えて厳密に構築すること。
• $L^1(\mathbb{R})$ における FRFT 手続きに生じる収束問題を、分数階近似恒等式および平均を用いて解決すること。
• $L^1$ における FRFT の逆変換公式を、分数階ガウス平均やアベル平均などの近似手法によって確立すること。
• FRFT 平均および分数階畳み込みの正則性および点灯収束結果を導出すること。
• $L^p$ 乗数定理および FRFT 框組み内でのリトルウッド＝パaley定理を証明すること。

提案手法

• FRFT の $L^1$ 性質を分析するために chirp 演算子を導入し、$L^1$ 環境における関数の操作を可能にする。
• 収束問題の処理および FRFT の逆変換の証明に、分数階ガウス平均およびアベル平均を近似手段として用いる。
• 分数階畳み込みを定義し、近似および有界性の議論によってその正則性特性を確立する。
• 古典的偏和分加算作用素およびその FRFT 形式を用いて、$L^p$ 上での分数階ハーディー変換の有界性を導出する。
• 分数階偏和分加算作用素とハーディー変換との関係を用い、$L^p$ 有界性を応用することで、FRFT におけるリトルウッド＝パaley定理を確立する。
• アベル平均法を用いて、$L^2$ に属さないが $L^1$ に属する信号の復元を実施し、$\varepsilon \to 0$ の際に a.e. 収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収束問題が生じるにもかかわらず、$L^1(\mathbb{R})$ における分数階フーリエ変換をどのように厳密に定義・逆変換できるか？
• RQ2 分数階畳み込みおよび FRFT 平均が正しく定義され、正則であるための条件は何か？
• RQ3 $L^p$ 乗数定理およびリトルウッド＝パaley定理を FRFT フレームワークで確立できるか？
• RQ4 $L^2$ に属さないが $L^1$ に属する信号（例：chirp シグナル）に対して、逆 FRFT はどのように近似可能か？
• RQ5 ガウスおよびアベル平均などの分数階近似恒等式が、FRFT からの信号復元に果たす役割は何か？

主な発見

• 分数階ガウス平均およびアベル平均による近似によって、$L^1(\mathbb{R})$ における FRFT の逆変換公式が成立し、$\varepsilon \to 0$ の際に $u_\varepsilon(t) \to u(t)$ が a.e. 成り立つ。
• $1 < p < \infty$ に対して、分数階ハーディー変換 $\mathcal{H}_\alpha$ は $L^p(\mathbb{R})$ 上で有界であり、これにより偏和分加算作用素 $S_{\rho_\alpha}$ の有界性が保証される。
• 分数階偏和分加算作用素とハーディー変換との関係を用い、$L^p$ 有界性を応用することで、FRFT におけるリトルウッド＝パaley定理が確立される。
• 分数階畳み込みは、FRFT フレームワーク下で正則で、適切に振る舞うことが示され、近似による収束結果が導出される。
• chirp シグナル $u \in L^1(\mathbb{R}) \setminus L^2(\mathbb{R})$ に対して、アベル平均を用いて逆 FRFT が回復され、$\varepsilon = 1, 0.1, 0.01$ に対して数値的に収束が確認された。
• 位相 $\pi/4$ の chirp シグナルの FRFT は、フレネル積分および正弦積分を用いて明示的に計算され、アベル平均を用いて逆変換が回復され、この手法の有効性が実証された。