[論文レビュー] Fractional Hardy-Sobolev elliptic problems

Jianfu Yang, Xiaohui Yu|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、分数ラプラシアン $(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}$ と特異項 $\frac{|u|^{q-2}u}{|x|^s}$ を含む分数階のハーディー＝ソボレフ楕円型問題に対して、存在結果を確立する。Caffarelli-Silvestre の拡張を用いて非局所問題を重み付きソボレフ空間における局所問題に変換する。主な貢献は、変分法およびマウンテン・パス定理を用いて、臨界的でない、ソボレフ臨界的、ハーディー＝ソボレフ臨界的状況において、指数および領域の幾何的性質に関する最適な条件下で非自明解の存在を示すことにある。

ABSTRACT

In this paper, we study the following singular nonlinear elliptic problem \begin{equation}\label{eq:1} \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle (-Δ)^{\frac α2} u=λ|u|^{r-2}u+μ\frac{|u|^{q-2}u}{|x|^{s}}\quad &{ m in }\quad Ω, \\ \\ u=0 &{ m on }\quad \partialΩ, \end{array} ight. \end{equation} where $Ω$ is a smooth bounded domain in $\mathbb R^N$ with $0\in Ω$, $λ,μ>0,0

研究の動機と目的

• 特異な分数階楕円型問題における非自明解の存在を調査すること。
• 古典的なBrezis-Nirenbergおよびハーディー＝ソボレフの結果を $0 < \alpha < 2$ の分数ラプラシアン設定に拡張すること。
• 変分法を用いて、臨界的でない、ソボレフ臨界的、ハーディー＝ソボレフ臨界的状況における問題を分析すること。
• 関連エネルギー汎関数におけるコンパクト性の欠如を、集中・コンパクトネス技法および拡張法により克服すること。
• 指数 $r$, $q$, $s$, および $\alpha$ の相乗的相互作用に依存する鋭い存在条件を確立すること。

提案手法

• 非局所な分数階問題を、上半空間 $\mathcal{C}_\Omega = \Omega \times (0,\infty)$ における局所的で退化する楕円型問題に変換するため、Caffarelli-Silvestre の拡張を用いる。
• 重み付きソボレフ空間 $H^{1}_{0,L}(\mathcal{C}_\Omega)$ 上で、エネルギー汎関数 $I(w) = \frac{1}{2}\int_{\mathcal{C}_\Omega} y^{1-\alpha}|\nabla w|^2 \, dx\,dy - \frac{\lambda}{r}\int_\Omega |w|^r \,dx - \frac{\mu}{q}\int_\Omega \frac{|w|^q}{|x|^s} \,dx$ を定義する。
• マウンテン・パス定理を適用して $I(w)$ の臨界点を求める。これには、最良定数 $S_{s,\alpha}^E$ に関連する臨界レベル未満での Palais-Smale 条件の検証が必要である。
• 既知の極値関数 $U_\varepsilon(x) = \varepsilon^{\frac{N-\alpha}{2}}(\varepsilon^2 + |x|^2)^{-\frac{N-\alpha}{2}}$ 及びその調和拡張 $w_\varepsilon$ を用いてテスト関数を構成する。
• 関数 $u_\varepsilon$ および $w_\varepsilon$ を含むノルムおよび積分の漸近的推定を用いて、マウンテン・パスのレベルが臨界閾値 $c_\infty = \frac{\alpha - s}{2(N - s)}(S_{s,\alpha}^E)^{\frac{N-s}{\alpha-s}}$ 未満にあることを示す。
• Brezis-Lieb の補題および鋭い分数階ハーディー＝ソボレフ不等式を用いて、背理法により $(PS)_c$ 条件を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パrameter $\lambda$, $\mu$, $r$, $q$, $s$, $\alpha$, $N$ がどのような条件下で、分数階ハーディー＝ソボレフ問題に非自明解を有するか？
• RQ2 ハーディー型特異項 $|x|^{-s}$ と分数階ソボレフ指数 $2_\alpha^*(s)$ の間の相互作用が解の存在にどのように影響するか？
• RQ3 Palais-Smale 条件が成り立つために、マウンテン・パスのレベルが臨界閾値 $c_\infty$ より厳密に小さいことが示せるか？
• RQ4 拡張法は、非局所設定におけるコンパクト性の回復および変分解析の可能化にどのような役割を果たすか？
• RQ5 テスト関数 $u_\varepsilon$ 及びその拡張 $w_\varepsilon$ の漸近的挙動が、エネルギー推定および存在証明にどのように影響するか？

主な発見

• すべての $\lambda > 0$, $\mu > 0$, $0 < s \leq \alpha < 2$, および原点を含む $\mathbb{R}^N$ 内の滑らかな有界領域 $\Omega$ に対して、問題は少なくとも1つの非自明な弱解を有する。
• 臨界的でない場合（$q < 2_\alpha^*(s)$）、ソボレフ臨界的状況（$q = 2_\alpha^*(s)$）、ハーディー＝ソボレフ臨界的状況（$q = 2_\alpha^*(s)$）において、最適な条件下で解の存在が確立される。
• マウンテン・パスのレベル $c$ は、$c < \frac{\alpha - s}{2(N - s)}(S_{s,\alpha}^E)^{\frac{N-s}{\alpha-s}}$ を満たし、Palais-Smale 条件の有効性が保証される。
• $N > 2\alpha$ の場合、$N > \alpha + \frac{2\alpha}{r}$ の条件下で解の存在が成立する。$N = 2\alpha$ の場合、誤差推定において対数的補正が加わる。
• 証明は、鋭い分数階ハーディー＝ソボレフ不等式および最良定数 $S_{s,\alpha}^E$ が全空間 $\mathbb{R}^{N+1}_+$ において極値関数 $U_\varepsilon$ の拡張によって達成されることに依存する。
• 拡張法により、$H^{\frac{\alpha}{2}}_0(\Omega)$ と $H^{1}_{0,L}(\mathcal{C}_\Omega)$ 間の等長性が保証され、局所問題における標準的な変分的手法の適用が可能になる。