[論文レビュー] Fractional Laplacian, Levy stable distribution, and time-space models for linear and nonlinear frequency-dependent lossy media

W. Chen, Sverre Holm|ArXiv.org|Dec 30, 2002

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 36被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、指数が0から2の間であるべきべき乗則に従う周波数依存減衰を記述するため、分数ラプラシアンに基づく波動モデルを提案する。境界条件の内蔵化と正則化を特徴とする新しい分数ラプラシアンの定義を導入することで、線形および非線形波動方程式において異常（非整数のべき乗則）な減衰を正確に捉え、Lévy安定分布およびフラクタル微細構造と関連づける。

ABSTRACT

The frequency-dependent attenuation typically obeys an empirical power law with an exponent ranging from 0 to 2. The standard time-domain partial differential equation models can describe merely two extreme cases of frequency independent and frequency-squared dependent attenuations. The otherwise non-zeor and non-square frequency dependency occuring in many cases of practical interest is thus often called the anomalous attenuation. In this study, we developed a linear integro-differential equation wave model for the anomalous attenuation by using the space fractional Laplacian operation, and the strategy is then extended to the nonlinear Burgers, KZK, and Westervelt equations. A new definition of the fractional Laplacian is also introduced which naturally includes the boundary conditions and has inherent regularization to ease the hyper-singularity in the conventional fractional Laplacian. Under the Szabo's smallness approximation where attenuation is assumed to be much smaller than the wave number, our linear model is found consistent with arbitrary frequency dependencies. According to the fact that the physical attenuation can be understood a statistic process, the empirical range [0,2] of the power law exponent is explained via the Levy stable distribution theory. It is noted that the power law attentuation underlies fractal microstructures of anomalously attenuative media.

研究の動機と目的

• 標準的な波動モデルが周波数に依存しないまたは周波数の二乗に比例する減衰しか記述できないという限界を解決すること。
• 古典的PDEでは捉えきれないが、実用的な媒質で一般的な異常な減衰を、分数階微積分を用いてモデル化すること。
• 周波数依存の損失のある媒質における線形および非線形波動伝播の物理的に整合性のある時空間モデルを提供すること。
• 経験的に観測されたべき乗則の指数範囲[0,2]をLévy安定分布理論を用いて解釈すること。
• 異常な減衰と媒質内のフラクタル微細構造との間に接続を確立すること。

提案手法

• 境界条件を内蔵し、超特異性を正則化する新しい分数ラプラシアンの定義を導入する。
• 空間的分数ラプラシアンを用いた線形積分微分方程式を構築し、任意の周波数依存減衰をモデル化する。
• 分数量の作用素を用いて、Burgers方程式、KZK方程式、Westervelt方程式を含む非線形方程式へと線形モデルを拡張する。
• Szaboの小刻み近似を適用し、時間領域における任意のべき乗則減衰と整合性を保つ。
• Lévy安定分布理論を用いて、べき乗則の指数範囲[0,2]の物理的起源を解釈する。
• 分数量微積分を用いて時空間領域における波動モデルを導出し、減衰メカニズムの直接的な物理的解釈を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数量微積分を用いて、標準的な周波数に依存しない場合と周波数の二乗に比例する場合の間にある周波数依存減衰をどのようにモデル化できるか。
• RQ2 損失のある媒質における経験的に観測されたべき乗則減衰指数範囲[0,2]の物理的根拠は何か。
• RQ3 分数量ラプラシアンをどのように再定義すれば、境界条件を自然に組み込み、数学的特異性を低減できるか。
• RQ4 Burgers、KZK、Westervelt方程式を含む線形および非線形波動方程式を、分数量の作用素を用いてどの程度一般化できるか。
• RQ5 異常な減衰と媒質のフラクタル微細構造との間にどのような関係があるか。

主な発見

• 提案された分数量ラプラシアンモデルは、[0,2]の範囲で任意のべき乗則減衰を正確に捉えることができ、古典的PDEモデルの制限を超える。
• 新しい分数量ラプラシアンの定義により、外部の境界処理の必要がなくなり、超特異性が軽減され、数値的安定性が向上する。
• モデルはSzaboの小刻み近似と整合しており、波数よりもはるかに小さい減衰レベルにおいて有効であることを保証する。
• 経験的に観測されたべき乗則の指数範囲[0,2]は、Lévy安定分布理論を用いて物理的に説明可能であり、統計力学と波動伝播とを結びつける。
• 異常な減衰が媒質内のフラクタル微細構造に起因することを示し、観測されたべき乗則的振る舞いに物理的解釈を与える。
• Burgers、KZK、Westervelt方程式などの非線形方程式へのモデルの拡張は、損失のある媒質における実世界の非線形波動現象への広範な適用可能性を示している。