[논문 리뷰] Fractional $p\&q$ Laplacian problems in $\mathbb{R}^{N}$ with critical growth

Vincenzo Ambrosio|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 31.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 36인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 변분 방법과 새로운 농도-비틀림 보조정리의 활용을 통해 $\mathbb{R}^N$에서 임계 성장 조건을 만족하는 분수형 $p\&q$ 라플라스 방정식에 대한 비자명한 비음수 약한 해의 존재성을 확립한다. 주요 결과는 비선형성의 초선형, 임계 이하 성장 조건과 유계이며 비자명한 교란 $h$ 하에서 충분히 큰 $\lambda > 0$ 에 대해 이러한 해가 존재함을 보여준다. 약한 해의 약한 수렴에 대한 정밀한 추정을 통해 임계 지수로 인한 컴팩트성 부족 문제를 해결하였다.

ABSTRACT

We deal with the following nonlinear problem involving fractional $p\&q$ Laplacians: \begin{equation*} (-\Delta)^{s}_{p}u+(-\Delta)^{s}_{q}u+|u|^{p-2}u+|u|^{q-2}u=\lambda h(x) f(u)+|u|^{q^{*}_{s}-2}u \mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \end{equation*} where $s\in (0,1)$, $1<p<q<\frac{N}{s}$, $q^{*}_{s}=\frac{Nq}{N-sq}$, $\lambda>0$ is a parameter, $h$ is a nontrivial bounded perturbation and $f$ is a superlinear continuous function with subcritical growth. Using suitable variational arguments and concentration-compactness lemma, we prove the existence of a nontrivial non-negative solution for $\lambda$ sufficiently large.

연구 동기 및 목표

• 전체 공간 $\mathbb{R}^N$에서 임계 성장 조건을 만족하는 분수형 $p\&q$ 라플라스 방정식에 대한 비자명한 비음수 약한 해의 존재성을 확립한다.
• 비유계 영역에서 임계 지수 $q_s^*$로 인해 발생하는 컴팩트성 부족 문제를 다룬다.
• 산봉우리 길이 정리와 라이옹스의 농도-비틀림 원리와 같은 변분 기법을 임계 비선형성과 함께 비국소적 $p\&q$ 프레임워크에 확장한다.
• 비선형성 $f$와 교란 $h$에 대한 적절한 가정 하에 매개수 $\lambda > 0$ 가 충분히 클 경우 해가 존재함을 증명한다.

제안 방법

• 해를 구하기 위해 오일러-라그랑주 함수 $J(u)$ 가 정의된 공간 $X = W^{s,p}(\mathbb{R}^N) \cap W^{s,q}(\mathbb{R}^N)$ 상에서 문제를 비판점 문제로 재구성한다.
• 팔라이스-스무스 수열 $ (u_n) $ 와 관련된 비판 수준 $c^*$ 를 찾기 위해 산봉우리 길이 정리를 적용한다.
• 분수형 $p$-라플라스 연산자에 특화된 농도-비틀림 보조정리의 변종을 통해 팔라이스-스무스 수열의 약한 수렴이 약한 해임을 보임으로써 수렴을 확립한다.
• 브레지스-리브 보조정리와 보간 부등식을 사용하여, 유계성과 약한 수렴 조건 하에서 $ t \in (p, q_s^*] $ 에 대해 $ u_n \to u $ 가 $ L^t(\mathbb{R}^N) $ 과 $ X $ 에서 강한 수렴임을 보인다.
• 오일러-라그랑주 방정식에 $ u^- = \min\{u, 0\} $ 을 대입하고, $ t > 1 $ 에 대해 $ |x-y|^{t-2}(x-y)(x^--y^-) \geq |x^--y^-|^t $ 라는 부등식을 사용하여 해의 비음수성을 증명한다.
• 함수 $ J_+(u) $ 가 $ F(u^+) $ 를 포함하도록 정의되었을 때, $ \|u^-<\|_s,p^p + \|u^-<\|_s,q^q \leq 0 $ 를 보임으로써 비음수 해임을 증명한다. 이는 $ u^- = 0 $ 이 거의 모든 곳에서 성립함을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수형 $p\&q$ 라플라스 방정식이 $\mathbb{R}^N$ 에서 임계 성장을 가지며, 어떤 조건에서 비자명한 약한 해를 가질 수 있는가?
• RQ2 비유계 영역에서 임계 지수 $q_s^*$ 로 인해 발생하는 컴팩트성 부족 문제는 어떻게 극복할 수 있는가?
• RQ3 매개수 $\lambda$ 는 해의 존재성에 어떤 역할을 하는가? 어떤 값에서 비자명한 해가 존재하는가?
• RQ4 산봉우리 길이 정리와 같은 변분 기법은 임계 비선형성을 가진 비국소적 $p\&q$ 연산자에 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ5 다중 비국소적 연산자를 고려할 때, 분수형 $p$-라플라스 연산자에 대응하는 농도-비틀림 원리는 어떻게 수정될 수 있는가?

주요 결과

• $\lambda^* > 0$ 이 존재하여, 모든 $\lambda \geq \lambda^*$ 에 대해 문제 (1.1) 이 비자명한 비음수 약한 해를 가진다.
• 해는 기능 $J$ 에 산봉우리 길이 정리를 적용하여 얻어지며, 비판 수준 $c^*$ 는 양수이면서 달성된다.
• 약한 수렴 수열의 약한 극한이 $X$ 에서 강한 수렴함을 보였으며, 이는 무한대에서의 집중 소멸과 점에서의 질량 소멸로 인해 가능해졌다.
• 농도-비틀림 보조정리는 분수형 $p$-라플라스 연산자에 맞게 조정되어, 모든 $i \in I$ 에 대해 $\nu_i = 0$ 이고 $\nu_\infty = 0 $ 임을 보장하며, 이는 $u_n \to u$ 가 $L^{q_s^*}(\mathbb{R}^N)$ 에서 성립함을 의미한다.
• 해의 비음수성은 $\|u^-<\|_s,p^p + \|u^-<\|_s,q^q \leq 0$ 를 보임으로써 증명되었으며, 이는 거의 모든 곳에서 $u^- = 0$ 이 됨을 강제한다.
• 브레지스-리브 보조정리와 $t \in (p, q_s^*]$ 에 대해 비선형 항의 $L^t$-공간 수렴을 이용하여 $u_n \to u$ 가 $X$ 에서 강한 수렴임을 확립하였다.