[論文レビュー] Fragile topological insulators protected by rotation symmetry without spin-orbit coupling

Shingo Kobayashi, Akira Furusaki|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2021

Topological Materials and Phenomena参考文献 97被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、回転対称性（Cn, n=2,4,6）によって保護される、クラスAI（時間反転対称、スピン軌道結合なし）の三次元断片的トポロジカルインスレーターを提案する。ここで軌道自由度が擬スピンとして機能する。ウィルソンループ不変量を用いて、二つのクラスを特定する。一つはZオイラー類によって保護される複数のディラック・コーンを有するもので、もう一つはCnおよび時間反転対称性によって保護されるZ2不変量によって保護される二次的バンド接触または複数のディラック・コーンを有するものである。両者ともCnおよび時間反転対称性に対して安定である。

ABSTRACT

We present a series of models of three-dimensional rotation-symmetric fragile topological insulators in class AI (time-reversal symmetric and spin-orbit-free systems), which have gapless surface states protected by time-reversal ($T$) and $n$-fold rotation ($C_n$) symmetries ($n=2,4,6$). Our models are generalizations of Fu's model of a spinless topological crystalline insulator, in which orbital degrees of freedom play the role of pseudo-spins. We consider minimal surface Hamiltonian with $C_n$ symmetry in class AI and discuss possible symmetry-protected gapless surface states, i.e., a quadratic band touching and multiple Dirac cones with linear dispersion. We characterize topological structure of bulk wave functions in terms of two kinds of topological invariants obtained from Wilson loops: $\mathbb{Z}_2$ invariants protected by $C_n$ ($n=4,6$) and time-reversal symmetries, and $C_2T$-symmetry-protected $\mathbb{Z}$ invariants (the Euler class) when the number of occupied bands is two. Accordingly, our models realize two kinds of fragile topological insulators. One is a fragile $\mathbb{Z}$ topological insulator whose only nontrivial topological index is the Euler class that specifies the number of surface Dirac cones. The other is a fragile $\mathbb{Z}_2$ topological insulator having gapless surface states with either a quadratic band touching or four (six) Dirac cones, which are protected by time-reversal and $C_4$ ($C_6$) symmetries. Finally, we discuss the instability of gapless surface states against the addition of $s$-orbital bands and demonstrate that surface states are gapped out through hybridization with surface-localized $s$-orbital bands.

研究の動機と目的

• スピン軌道結合のないクラスAIにおける断片的トポロジカルインスレーターの同定。
• 時間反転対称性およびCn対称性によって保護される表面ギャップなし状態の分類。
• ウィルソンループ不変量を用いたバルク-境界対応の確立。
• s軌道混合による表面状態の安定性の分析。
• 軌道角運動量に基づくZおよびZ2断片的トポロジカル不変量の区別。

提案手法

• 角運動量lを持つ軌道擬スピンを用いて、フのスピンなしトポロジカル結晶絶縁体モデルを一般化する。
• Cnおよび時間反転対称性を満たす最小の2×2および4×4表面ハミルトニアンを構築する。
• ウィルソンループ不変量を計算し、CnおよびTR対称性によって保護されるZ2不変量と、C2T対称性によって保護されるオイラー類（Z不変量）を抽出する。
• オイラー類を用いて、二つのバンドが占有されている場合の表面ディラック・コーンの数を特徴付ける。
• 表面に局在するs軌道バンドとの混合を介して、表面状態の不安定性を分析する。
• 表面状態が表面に局在するs軌道バンドと混合しない限り、ギャップが開かないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン軌道結合のないクラスAIに断片的トポロジカルインスレーターが存在可能か？
• RQ2 Cnおよび時間反転対称性が同時に作用する場合、どのような表面ギャップなし状態が出現するか？
• RQ3 ウィルソンループ不変量は、回転対称系における断片的トポロジカル相をどのように分類するか？
• RQ4 オイラー類およびZ2不変量は、断片的トポロジカル相を区別するために果たす役割は何か？
• RQ5 Wannier障害が自明なバンドによって解消された後でも、なぜ表面状態は安定に保たれるのか？

主な発見

• 2l ≡ 0 mod n（n=2,4,6）を満たすとき、C2T対称性によって保護されるn個の表面ディラック・コーンを有する断片的トポロジカルインスレーターが出現する。
• 2l ≠ 0 mod nのとき、高対称点で二次的バンド接触を有する。
• オイラー類（Z不変量）は、複数のディラック・コーンを有する断片的Zトポロジカルインスレーターを特徴付ける。これは二つのバンドが占有されている場合にのみ有効である。
• CnおよびTR対称性によって保護されるZ2不変量は、二次的バンド接触または複数のディラック・コーンを有する断片的Z2インスレーターを分類する。
• 表面ディラック・コーンは、表面に局在するs軌道バンドと混合しない限り、ギャップが開かない。これはバルクのWannier障害が自明なバンドによって解消された後でも同様である。
• 二つ以上のバンドが占有されている場合、Z値のオイラー類は、Z2値の第二スティーフェル＝ホイットニー類に還元され、結果として自明な絶縁体となる。