[論文レビュー] Frames by Multiplication

Péter Balázs, Carlos Cabrelli+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2010

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、バンド制限関数の不規則な並進に関する、関数と与えられた関数列の積で形成される系列のフレームおよびリース基底の性質を調査する。特に、このような積がフレーム性質を保持するための条件を確立し、ベルリングの密度結果を用いて不規則な並進によるフレームの存在と構成を証明する。

ABSTRACT

In this note we study frame-related properties of a sequence of functions multiplied by another function. In particular we study frame and Riesz basis properties. We apply these results to sets of irregular translates of a bandlimited function $h$ in $L^2(\R^d)$. This is achieved by looking at a set of exponentials restricted to a set $E \subset \R^d$ with frequencies in a countable set $Λ$ and multiplying it by the Fourier transform of a fixed function $h \in L^2(E)$. Using density results due to Beurling, we prove the existence and give ways to construct frames by irregular translates.

研究の動機と目的

• 固定された関数によるフレームまたはベッセル系列の乗算が、そのフレームまたはベッセル性質を保つための条件を同定すること。
• バンド制限関数の不規則な並進のフレームおよびリース基底の性質を、$L^2(\mathbb{R}^d)$ において調査すること。
• シフト不変空間内の関数の並進によって形成されるフレーム系列の存在について、必要十分条件を確立すること。
• 関数による乗算に関する結果を、有界集合 $E \subset \mathbb{R}^d$ に制限された指数関数系に適用し、それらと並進のフレーム性質を関連付けること。
• ベルリング理論における不規則サンプリングの密度定理を用いて、不規則な並進によるフレーム系列の存在を証明すること。

提案手法

• 関数の並進をモジュレートされた指数関数に変換するためのフーリエ変換を用い、問題を周波数領域に変換する。
• コーン＝ニレバーグ対応を用いて、並進のフレームとガボール乗算子および時間変動フィルタを結びつける。
• ベルリングの密度結果を用いて、$P_E$（フーリエ変換が有界集合 $E$ に台を持つ関数の空間）における不規則な並進のフレームの存在条件を確立する。
• 関数 $h$ のフーリエ変換が $E$ に台を持つことから、$E$ 上のフレーム系列 $\{e^{-2\pi i \lambda_k x}\}$ への乗算を分析し、フレーム性質の保持に必要な $\hat{h}$ の条件を導出する。
• $\sum_j |\hat{h}_j(\omega)|^2$ に関する必要十分条件を導出し、$\{T_{\lambda_k} h_j\}$ の和集合が $P_{\bigcup_j E_j}$ においてフレームをなすための条件を定める。
• ヒルベルト空間における双対性および射影技法を用いて、乗算および並進によるフレームの下限・上限および安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された関数によるフレーム系列の乗算が、別のフレーム系列を生じる条件は何か？
• RQ2 バンド制限関数の不規則な並進が、フーリエ変換が有界集合 $E$ に台を持つ関数の空間においてフレームをなすのはいつか？
• RQ3 対応する指数関数が $E$ 上でフレームをなす場合、$P_E$ に対して不規則な並進によるフレームを構成できるか？
• RQ4 生成関数のフーリエ変換の $L^2$ ノルムは、乗算によるフレーム性質の保持にどのように寄与するか？
• RQ5 元の指数関数系のフレーム上限・下限と、乗算後の並進系のフレーム上限・下限とはどのように関係するか？

主な発見

• 任意の有界集合 $E \subset \mathbb{R}^d$ および $P_E$ に属する可積分関数 $h$ に対して、$\{h(\cdot - \lambda_k)\}_{k \in K}$ は $P_E$ においてフレームとはなり得ない。これは $\{e^{-2\pi i \lambda_k x}\}$ が $L^2(E)$ においてフレームをなす場合でも同様である。
• 関数 $h$ が $P_E$ に属さないが、シュワーツクラスに属する場合、わずかに大きな集合 $\{\lambda_k'\}$ におけるその並進が $P_E$ においてフレームをなすように選べる。
• $\{T_{\lambda_k} h_j\}_{k \in K, j \in J}$ が $P_{\bigcup_j E_j}$ においてフレームをなすための必要十分条件は、ある $0 < p \leq P < \infty$ に対して、$\bigcup_j E_j$ 上 almost everywhere で $p \leq \sum_j |\hat{h}_j(\omega)|^2 \leq P$ が成り立つことである。
• $\{e_{\lambda_k} \chi_{E_j}\}$ が $L^2(E_j)$ において一様なフレーム上限 $m_j \geq m > 0$ および $M_j \leq M < \infty$ を持つ場合、並進系のフレーム上限は $MP$ によって制御され、下限は $mp$ によって制御される。
• 並進系の下限フレーム境界は $\alpha \geq m \cdot \inf \sum_j |\hat{h}_j(\omega)|^2$ で下から抑えられ、上限は $M \cdot \sup \sum_j |\hat{h}_j(\omega)|^2$ で上から抑えられる。これは $\hat{h}_j$ の $L^2$ ノルムに依存することを示している。
• 必要性の証明では、$L^2$ ノルムが収縮する集合 $A_n$ に台を持つ関数列 $f_n$ を構成する背理法を用い、$\sum_j |\hat{h}_j(\omega)|^2$ が正の測度の集合で小さすぎる場合には、下限フレーム境界が 0 に近づくことが示された。