[論文レビュー] Frankl-Rödl type theorems for codes and permutations

Peter Keevash, Eoin Long|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、従属的な確率的選択を用いて、フランクル＝ローデル型の定理に対する新しい確率的証明を提示し、大規模なアルファベットにおける禁止距離を避ける符号の境界を著しく改善するとともに、置換の族や弱いサンフラワーフリー集合についても新たな結果を得た。主な貢献は、固定されたハミング距離 $ d \in [\epsilon n, (1-\epsilon)n] $ を避ける符号に対して、$ q^{(1-\theta)n} $ のより強い上界を示したことである。ここで $ \theta = \theta(\epsilon) > 0 $ であり、この結果は置換の族やサンフラワーフリー集合へと拡張可能である。

ABSTRACT

We give a new proof of the Frankl-Rödl theorem on forbidden intersections, via the probabilistic method of dependent random choice. Our method extends to codes with forbidden distances, where over large alphabets our bound is significantly better than that obtained by Frankl and Rödl. We also apply our bound to a question of Ellis on sets of permutations with forbidden distances, and to establish a weak form of a conjecture of Alon, Shpilka and Umans on sunflowers.

研究の動機と目的

• 従属的な確率的選択を用いて、フランクル＝ローデル型の定理に対する新しい証明技法を開発すること。
• 特に大規模なアルファベット上での、禁止ハミング距離を伴う符号のサイズに関する既存の境界を改善すること。
• これらの境界を、禁止距離を伴う置換の族および弱いサンフラワーを含む集合へと拡張すること。
• アロン、シュピルカ、ウマンズによる $[q]^n$ における強いサンフラワーに関する予想に対する証拠を提供すること。

提案手法

• 従属的な確率的選択の確率的技法を用いて、禁止交差に関するフランクル＝ローデルの定理を再証明する。
• 従属的な確率的選択を用いて、ペアのベクトルが一致する座標のランダム部分集合を構築し、距離を制御可能にする。
• ランダム部分立方体内に含まれる $ d $-ペアの数を数える確率的変数 $ Y $ を定義し、$ \mathbb{E}[X - Y] $ の下界を導出することで、$ d $-ペアを避ける。
• エントロピーと二項係数の境界を用いて、ランダム集合のサイズを制御し、符号が大きすぎる場合には矛盾を導く。
• 偶数距離のケースを奇数距離へと拡張するために、分割による議論を適用し、共通の拡張に対して偶数ケースを適用する。
• 符号の改善された境界を置換の族に適用する際には、置換を $[n]^n$ 内のベクトルと同一視し、合致に基づく定義を用いて弱いサンフラワーを含む集合へと応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 禁止交差に関するフランクル＝ローデルの定理を、新しい確率的技法を用いて再証明できるか？
• RQ2 大規模なアルファベット上での、固定されたハミング距離を避ける符号の境界を著しく改善できるか？
• RQ3 距離 $ d \in [\epsilon n, (1-\epsilon)n] $ を禁止する場合、置換の族はどの程度大きくできるか？
• RQ4 この手法を、弱いサンフラワーを避ける族に関する境界の確立に拡張できるか？
• RQ5 改善された境界が、アロン、シュピルカ、ウマンズによる強いサンフラワーに関する予想を支持するか？

主な発見

• 本稿では、固定された距離 $ d \in [\epsilon n, (1-\epsilon)n] $ を避ける $ q $ 進符号 $ \mathcal{C} $ に対して、$ |\mathcal{C}| \leq q^{(1-\delta)n} $ という新しい上界を確立した。ここで $ \delta = \delta(\epsilon) > 0 $ であり、これは大規模な $ q $ に対してフランクル＝ローデルの $ (q - \delta)^n $ の境界よりも著しく改善されたものである。
• 置換の族 $ \mathcal{S} \subset S_n $ に対しては、$ d \in [\epsilon n, (1-\epsilon)n] $ が禁止される場合、$ |\mathcal{S}| < (n!)^{1-\delta} $ が成り立ち、ここで $ \delta = \delta(\epsilon) > 0 $ である。
• この手法により、弱い $ k $ ペタルのサンフラワーを避ける任意の族 $ \mathcal{C} \subset [q]^n $ に対して、$ |\mathcal{C}| \leq q^{(1-\delta)n} $ が $ \delta = \delta(k) > 0 $ で成り立つことが示された。これは強いサンフラワーに関する予想を支持する。
• 従属的な確率的選択による証明技法により、符号が大きすぎる場合には、必ず禁止された $ d $-ペアを含む大規模な部分集合が存在することを示し、矛盾を導く。
• $ q $ 進符号の境界は、指数部において $ q $ に依存しない。これに対してフランクル＝ローデルの $ (q - \delta)^n $ は指数部に $ q $ に依存するため、大規模な $ q $ に対しては著しく強い境界である。
• 奇数距離への拡張は、分割と偶数ケースへの還元により行われ、漸近的境界が保たれる。