[論文レビュー] Free and Hyperbolic Groups are not Equational

Zlil Sela|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非可換自由群および非自明な torsion-free 超曲面群の初等理論が等式的でないことを、特定の定義可能集合——具体的には $NE(p,q)$ と呼ばれる、$ exists x_1,x_2\ (qp = x_1^{10}x_2^{-9} \land [x_1,x_2] \neq 1)$ で定義される集合——の構成によって証明する。この集合は、等式的集合のブール結合として表現できない。証明は、テスト列、自由群における Lyndon–Schützenberger 型の議論、および超曲面群における Gromov–Hausdorff 収束を用いて、この集合が、任意に長い厳密に減少する定義可能部分集合の共通部分集合を許容することを示し、等式的性を要請する有限性の制約に反する。

ABSTRACT

We give an example of a definable set in every free or torsion-free (non-elementary) hyperbolic group that is not in the Boolean algebra of equational sets. Hence, the theories of free and torsion-free (non-elementary) hyperbolic groups are not equational in the sense of G. Srour.

研究の動機と目的

• 自由群や超曲面群の安定理論が等式的であるかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 自由群および非自明な torsion-free 超曲面群において、等式的集合のブール代数がすべての定義可能集合を捉えていないことを示すこと。
• 具体的な反例——特に $NE(p,q)$ と呼ばれる集合——を構成し、これが等式的集合のブール代数の外にあることを示すこと。
• 幾何学的およびモデル理論的道具を用いて、自由群における非等式的性の結果を、すべての非自明で torsion-free の超曲面群に拡張すること。
• これらの群において、最小のランクの定義可能集合に対しても等式的性の条件が成立しないことを示し、文献における以前の仮定に反すること。

提案手法

• 自由群における一般化された要素のテスト列を用いて、$NE(p,q)$ を定義可能集合として構成し、$\exists x_1,x_2\ (qp = x_1^{10}x_2^{-9} \land [x_1,x_2] \neq 1)$ として定義される。この集合は、無限に長い厳密減少共通部分集合列を許容するため、等式的でない。
• 自由群における一般化された要素のテスト列を用いて、$NE(p,q)$ の共通部分集合の無限に長い厳密減少列を生成し、等式的性に要請される有限バウンド $N_D$ を破ることを示す。
• 自由群における $x^m y^n z^r = 1$ の解に関する Lyndon–Schützenberger 定理を適用し、このような解が巡回部分群を生成することを示し、これにより共通部分集合の長さを制御する。
• 非自明で torsion-free の超曲面群への一般化において、群作用の実木への Gromov–Hausdorff 収束を用いて、$x^{\ell+1}y^{-\ell}z^m = 1$ の解が大きな $m$ に対して巡回部分群を生成することを示し、類似の共通部分集合のバウンドを得る。
• 先行研究（[Se4], [Se6]）におけるふるい手順およびエンvelope 構成を用いて、自由群から超曲面群への量化子除去および定義可能集合の解析を拡張する。
• 減少列に対するバウンド $N_1, N_2$ を用いた背理法を適用し、$NE(p,q)$ が等式的集合または余等式的集合の有限和集合や共通部分集合として表現できないことを示し、これが等式的集合のブール代数の外にあることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換自由群の初等理論は、かつての安定性理論の予想通り等式的であるか？
• RQ2 自由群において、定義可能集合 $NE(p,q)$ は有限個の等式的集合のブール結合として表現可能か？
• RQ3 自由群における等式的性の失敗は、非自明で torsion-free の超曲面群にまで拡張可能か？
• RQ4 幾何的収束を用いて、超曲面群における Lyndon–Schützenberger 定理による解の巡回生成性を一般化可能か？
• RQ5 非自明で torsion-free の超曲面群において、任意に長い厳密に減少する定義可能部分集合の共通部分集合列を許容する定義可能集合は存在するか？ これにより等式的性の条件が破られる。

主な発見

• 非可換自由群において、$\exists x_1,x_2\ (qp = x_1^{10}x_2^{-9} \land [x_1,x_2] \neq 1)$ で定義される集合 $NE(p,q)$ は等式的でない。
• $NE(p,q)$ は、無限に長い厳密に減少する共通部分集合列 $\bigcap_{i=1}^j NE(p,q_i)$ を許容し、等式的性に要請される有限バウンド $N_D$ を破る。
• $NE(p,q)$ は、有限個の等式的集合の和集合や共通部分集合として表現できない。同様に、等式的集合と余等式的集合の和集合や共通部分集合としても表現できない。
• 非可換自由群の理論は等式的でない。なぜなら、$NE(p,q)$ が等式的集合のブール代数の外にあるからである。
• Gromov–Hausdorff 収束を用いた Lyndon–Schützenberger 議論の一般化により、非自明で torsion-free の超曲面群に対しても非等式的性の結果が拡張可能である。
• 非自明で torsion-free の超曲面群において、大きな $m$ に対して $x^{\ell+1}y^{-\ell}z^m = 1$ の解は巡回部分群を生成し、自由群と同様の背理法的議論が可能である。