[論文レビュー] Free quasi-symmetric functions of arbitrary level

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|ArXiv.org|May 31, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、$l$-彩色置換でインデックス付けられた基底を用いて、自由 quasi-対称関数のレベル-$l$一般化 ${\bf FQSym}^{(l)}$ を導入する。彩色パーキング関数、タイプ$B$の非交叉分割、およびワーレン積の降下代数のホップ代数を構成し、彩色組合せ的対象を介して古典的構造を拡張し、${\bf FQSym}$、${\bf PQSym}$、および関連代数のレベル-$l$類似物の統一的な枠組みを提供する。明示的なコプロダクトと双対性関係が与えられる。

ABSTRACT

We introduce analogues of the Hopf algebra of Free quasi-symmetric functions with bases labelled by colored permutations. As applications, we recover in a simple way the descent algebras associated with wreath products $Γ\wr\SG_n$ and the corresponding generalizations of quasi-symmetric functions. Also, we obtain Hopf algebras of colored parking functions, colored non-crossing partitions and parking functions of type $B$.

研究の動機と目的

• $l$-彩色置換を基底として用いて、ホップ代数 ${\bf FQSym}$ を任意のレベル$l$に一般化すること。
• ワーレン積 $\Gamma \wr \mathfrak{S}_n$ の降下代数をレベル-$l$構成により回復および統一すること。
• 彩色組合せ的構造を用いて、彩色パーキング関数およびタイプ$B$の非交叉分割の新しいホップ代数を定義すること。
• レベル-$l$設定における双対性および内部積構造を確立し、ソロモンの降下代数とパイエリエの quasi-対称関数を拡張すること。

提案手法

• $C = \{0, \dots, l-1\}$ とし、$\sigma \in \mathfrak{S}_n$ および $u \in C^n$ であるペア $(\sigma, u)$ を $l$-彩色置換と定義する。
• 自由 $l$-準リボン ${\bf G}_{\sigma,u}$ を、$A^n$ のすべての語の和として定義する。ここで $A = B \times C$、$B = \{1, \dots, N\}$ であり、標準化形式が $(\sigma, u)$ であるもの。
• 乗法を畳み込み積 $\sigma' * \sigma''$ を用いて定義し、$\mathbf{G}_{\sigma',u'} \mathbf{G}_{\sigma'',u''} = \sum_{\sigma \in \sigma' * \sigma''} \mathbf{G}_{\sigma, u' \cdot u''}$ が成り立つようにする。
• コプロダクトを $\Delta \mathbf{G}_{\sigma,u} = \sum_{i=0}^n \mathbf{G}_{(\sigma,u)_{[1,i]}} \otimes \mathbf{G}_{(\sigma,u)_{[i+1,n]}}$ として定義し、${\bf FQSym}^{(l)}$ が階数付き双代数となるようにする。
• ${\bf PQSym}^{(l)}$ を彩色パーキング関数でインデックスづけられたホップ代数として構成し、${\bf PQSym}$ と同様に、部分語のパークイゼーションを用いて乗法およびコプロダクトを定義する。
• 非減少パーキング関数とダイク語の対応を、$l$ 色を素ダイク因子に割り当てることでタイプ$B$の非交叉分割へ拡張し、生成関数 $\frac{1}{1 - l \frac{1 - \sqrt{1 - 4t}}{2}}$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ代数 ${\bf FQSym}$ は、どのように彩色置換を用いて任意のレベル$l$に一般化できるか？
• RQ2 ワーレン積 $\Gamma \wr \mathfrak{S}_n$ の降下代数は、レベル-$l$設定においてどのような構造を持つか？
• RQ3 彩色パーキング関数およびタイプ$B$の非交叉分割にホップ代数構造を定義できるか？
• RQ4 レベル-$l$類似物 ${\bf FQSym}$、${\bf PQSym}$、${\bf Sym}^{(l)}$ は、双対性および内部積を通じてどのように関係するか？
• RQ5 レベル-$l$タイプ$B$非交叉分割の数の母関数は何か？

主な発見

• ${\bf FQSym}^{(l)}$ は、$l$-彩色置換でインデックスづけられた基底をもち、標準化およびパークイゼーションを用いた乗法およびコプロダクトにより閉じた階数付きホップ代数である。
• ${\bf Sym}^{(l)}$ は ${\bf FQSym}^{(l)}$ のホップ部分代数として現れ、パイエリエの quasi-対称関数と双対であり、マンタシ・ルーテナウアーの降下代数と同型な内部積を備える。
• ${\bf PQSym}^{(l)}$ は彩色パーキング関数でインデックスづけられたホップ代数として構成され、サイズ$n$の元は $l^n (n+1)^{n-1}$ 個であり、コプロダクトにより階数付き双代数（したがってホップ代数）となる。
• ${\bf PQSym}^{(2)}$ のレベル-2パーキング関数への制限はホップ部分代数をなす。これにより、タイプ$B$パーキング関数に自然な代数的構造が与えられる。
• タイプ$B$の非交叉分割は、各素ダイク因子が$l$色のうちの1つを選ぶ彩色ダイク語によって符号化され、生成関数 $\frac{1}{1 - l \frac{1 - \sqrt{1 - 4t}}{2}}$ を得る。
• $l=3$ の場合、この生成関数は OEIS の列番号 A007854 と一致し、レベル-$l$非交叉分割の組合せ的解釈が確認される。