[論文レビュー] Frequency-Domain Identification of Discrete-Time Systems using Sum-of-Rational Optimization

Mohamed Abdalmoaty, Jared Miller+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2023

Control Systems and Identification被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、重み付き残差の2-ノルムの非凸最適化を多項式行列不等式（PMI）制約付きのモーメント-平方和（SOS）階層として定式化することで、安定な離散時間有理系に対するグローバルに最適な周波数領域システム同定手法を提案する。この手法は、解行列のランク条件によるグローバル最適性の証明を伴い、グローバル最適解への収束を保証する。

ABSTRACT

We propose a computationally tractable method for the identification of stable canonical discrete-time rational transfer function models, using frequency domain data. The problem is formulated as a global non-convex optimization problem whose objective function is the sum of weighted squared residuals at each observed frequency datapoint. Stability is enforced using a polynomial matrix inequality constraint. The problem is solved globally by a moment-sum-of-squares hierarchy of semidefinite programs through a framework for sum-of-rational-functions optimization. Convergence of the moment-sum-of-squares program is guaranteed as the bound on the degree of the sum-of-squares polynomials approaches infinity. The performance of the proposed method is demonstrated using numerical simulation examples.

研究の動機と目的

• 局所最適化に依存する従来のパrametricシステム同定手法が抱える局所最適解の問題に対処すること。
• ノイズが混在する周波数領域データから、安定な離散時間有理伝達関数モデルのグローバル最適化を可能にすること。
• 凸緩和を用いて、非凸な周波数領域システム同定問題に対する証明可能なグローバル解を提供すること。
• 有理関数の和の最適化フレームワークを、安定性制約を伴う周波数領域システム同定に拡張すること。

提案手法

• 周波数領域同定問題を、残差の重み付き2-ノルムを最小化する有理関数の和の最適化問題として定式化する。
• グローバル最小値の非減少下界を生成するため、半定値計画（SDP）のモーメント-SOS階層を用いる。
• 分母多項式に多項式行列不等式（PMI）制約を課して、同定されたモデルの安定性を保証する。
• 測度に基づく線形計画（LP）を用い、SOS多項式の次数を増加させることで真のグローバル最小値に収束する断片化を実現する。
• モーメント行列のランク条件を用いてグローバル最適解を回復し、グローバル最適性を証明する。
• モデリングにはGloptipolyとYALMIPを、解法にはMosekを、大規模な安定性制約付き問題にはJuliaにおけるコリレーション・ターム・スパarsityインターフェース（CS-TSSOS）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸緩和を用いることで、安定な離散時間系に対する周波数領域システム同定のグローバル最適化が達成可能か？
• RQ2 有理伝達関数のグローバル最適化フレームワークにおいて、安定性をどのように強制できるか？
• RQ3 この問題クラスにおいて、モーメント-SOS階層が真のグローバル最小値にどの程度収束するか？
• RQ4 標準的な局所ソルバー（fminconなど）が最適性を証明できない状況において、提案手法がグローバル最適性を証明可能か？
• RQ5 ノイズ下での性能を、n4sid や oe といった標準的なシステム同定ツールと比較して、本手法はどのように評価されるか？

主な発見

• 3次系において、提案手法はグローバル最小値の目的関数値0.3173を達成し、fminconが得た最良結果と一致したが、グローバル最適性の証明も併せて行った。
• 同定されたモデル（27）は、パrameter集合Ks内でグローバルに最適であることが証明されたが、fminconは同様の解を得たものの、グローバル最適性の検証は行わなかった。
• モンテカルロシミュレーションでは、提案手法の下界SDP値が、n4sidで初期化したfminconの目的関数値と非常に近接しており、優れた性能を示した。
• fminconをゼロで初期化した場合、3000イテレーション経過後も収束せず、MSEが31.540にとどまり、局所最適解のリスクを浮き彫りにした。
• 図1に示すように、真のシステムダイナミクスは最小限の誤差で回復され、同定された周波数応答と真の周波数応答との誤差は、他の手法よりも顕著に小さかった。
• SOS多項式の次数の上限が無限大に近づくにつれて、モーメント-SOS階層のグローバル最小値への収束が保証される。