[論文レビュー] From braid groups to mapping class groups

Luis Paris|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ガルサイド理論とコックスター群理論を用いて、ブレード群と写像類群の間の構造的および代数的類似性を調査し、本質的要素、根系、周期性などの性質を検討する。非アフィンな既約コックスター群において、要素が本質的であることは、それがw-奇根からなる集合によって生成されることと同値であり、本質的要素は無限位数であり、有限指数の中心化群をもつことが示された。

ABSTRACT

This paper is a survey of some properties of the braid groups and related groups that lead to questions on mapping class groups.

研究の動機と目的

• ブレード群の性質のうち、どの性質が写像類群へ拡張可能かを、特に代数的・幾何的構造の観点から調査すること。
• コックスター群における本質的要素の概念を分析し、中心化群構造におけるその役割を明らかにすること。
• 根系の性質と周期性を用いて、既約非アフィンコックスター群における本質的要素を特徴づけること。
• 語長、根系、および共役作用やべき乗における群の要素の振る舞いとの関係を明確にすること。
• 要素がその中心化群において有限指数部分群を生成する条件を確立し、これと本質的性との関係を明らかにすること。

提案手法

• 可除性、ラティス構造、ガルサイド要素の存在を研究するため、ガルサイドモノイドおよび群を用いる。
• コックスター行列によって定義される対称的双一次形式を備えた実ベクトル空間へのコックスター群の標準的表現を適用する。
• 根系 $\Phi = \{w\alpha_s \mid w \in W, s \in S\}$ を用いて正根と負根を定義し、$\Phi_w = \{\beta \in \Phi^+ \mid w\beta \in \Phi^-\}$ を導入する。
• 集合 $N_w(\alpha) = \{m \in \mathbb{Z} \mid \alpha \text{ が } w^m \text{ と } w^{m+1} \text{ を分離する}\}$ を用いて、$w$-周期的および$w$-奇/偶根の概念を導入する。
• 語長関数 $\lg(w) = |\Phi_w|$ を用いて、群の要素と根系の挙動との関係を定式化する。
• 共役を用いて反射 $r_\beta = wsw^{-1}$ を定義し、ベクトル空間 $U$ 上で $r_\beta(x) = x - 2\langle x, \beta \rangle \beta$ として作用させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブレード群の性質のうち、代数的構造および要素分類の観点から、写像類群へどの性質が拡張可能か。
• RQ2 既約非アフィンコックスター群における本質的要素はどのように特徴づけられるか。
• RQ3 根の周期性および分離挙動は、コックスター群における中心化群構造とどのように関係するか。
• RQ4 要素の生成する巡回部分群が無限位数であり、かつその中心化群において有限指数部分群をなす条件は何か。
• RQ5 $w$-奇根の集合が、コックスター群における要素$w$の本質的性を完全に決定できるか。

主な発見

• 非アフィンな既約コックスター群における要素$w$は、$w$-奇根からなる集合によって生成されることと同値に本質的である。
• 任意の$m \geq 1$に対して、$w$が本質的であることと$w^m$が本質的であることは同値であり、これはべき乗に関して不変であることを示す。
• もし$w$が本質的であれば、$w$は無限位数であり、$W$における$w$の中心化群において、巡回部分群$\langle w \rangle$は有限指数をもつ。
• $\alpha$ が $w^m$ と $w^{m+1}$ を分離する整数$m$の集合$N_w(\alpha)$は有限であり、根の挙動に応じて偶数または奇数のいずれかである。
• 根系$\Phi$は互いに素な和集合 $\Phi^+ \sqcup \Phi^-$ に分解され、すべての$w \in W$に対して $\lg(w) = |\Phi_w|$ が成り立ち、語長と根の個数が結びつく。
• 標準的表現 $W \to GL(U)$ は忠実であり、$\langle \cdot, \cdot \rangle$ はコックスター図の$m_{st}$ 値によって定義される双一次形式を保存する。