[論文レビュー] FROM DYADIC α TO α

Wael Abu-Shammala, Alberto Torchinsky|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2007

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 7被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^N$ における dyadic グリッドを用いて、$\alpha \geq 0$ のときの斉次リプシッツノルム $\|f\|_{\dot{\Lambda}_\alpha(\mathbb{R}^N)}$ を計算する手法を確立する。これは、dyadic および特別な原子を用いたハードィ空間 $H^p(\mathbb{R}^N)$ の特徴付けと双対性の応用により達成される。主な結果は、次数 $\leq \lfloor \alpha \rfloor$ の多項式で、次数 $\alpha$ までモーメントを消去するものに基づく最大関数を含むノルム計算式であり、dyadic クローズを用いた明示的な $\dot{\Lambda}_\alpha$ ノルム評価を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we show how to compute the �� norm , � � 0, using the dyadic grid. This result is a consequence of the description of the Hardy spaces H p (R N ) in terms of dyadic and special atoms. Recently, several novel methods for computing the BMO norm of a function f in two dimensions were discussed in (9). Given its importance, it is also of interest to explore the possibility of computing the norm of a BMO function, or more generally a function in the Lipschitz class �α, using the dyadic grid in R N. It turns out that the BMO question is closely related to that of approximating functions in the Hardy space H 1 (R N ) by the Haar system. The approximation in H 1 (R N ) by affine systems was proved in (2), but this result does not apply to the Haar system. Now, if H A (R) denotes the closure of the Haar system in H 1 (R), it is not hard to see that the distance d(f, H A ) of f ∈ H 1 (R) to H A is ∼ � R ∞ 0 f(x) dx �, see (1). Thus, neither dyadic atoms suffice to describe the Hardy spaces, nor the evaluation of thenorm in BMO can be reduced to a straightforward computation using the dyadic intervals. In this paper we address both of these issues. First, we give a characterization of the Hardy spaces H p (R N ) in terms of dyadic and special atoms, and then, by a duality argument, we show how to compute the norm in �α(R N ), α ≥ 0, using the dyadic grid. We begin by introducing some notations. Let J denote a family of cubes Q in R N , and Pd the collection of polynomials in R N of degree less than or equal to d. Given α ≥ 0, Q ∈ J, and a locally integrable function g, let pQ(g) denote the unique polynomial in P(α) such that (g − pQ(g)) χQ has vanishing moments up to order (α). For a locally square-integrable function g, we consider the maximal function M ♯,2 α,J g(x) given by

研究の動機と目的

• dyadic グリッドを用いた $\mathbb{R}^N$ における $\dot{\Lambda}_\alpha(\mathbb{R}^N)$ ノルムの計算という課題に取り組む。
• 標準的な dyadic 原子の制限を克服するため、dyadic および特別な原子を用いてハードィ空間 $H^p(\mathbb{R}^N)$ を特徴付ける。
• ハール系による $H^1$ への近似と関連して、dyadic 区間を用いた BMO ノルムの計算の難しさを解消する。
• モーメント消去多項式を含む最大関数を用いた双対性に基づく方法により、$\dot{\Lambda}_\alpha$ ノルムの計算を確立する。

提案手法

• 各 dyadic クローズ $Q$ に対して、$(g - p_Q(g))\chi_Q$ が次数 $\alpha$ までモーメントを消去するような $P(\alpha)$ 内の唯一の多項式 $p_Q(g)$ を定義する。
• dyadic クローズ $Q \in J$ 上での $\alpha$ 階モーメント条件に基づく最大関数 $M^{\sharp,2}_{\alpha,J}g(x)$ を導入する。
• $H^p(\mathbb{R}^N)$ と $\dot{\Lambda}_\alpha(\mathbb{R}^N)$ の双対性を用いて、$\dot{\Lambda}_\alpha$ ノルムと $M^{\sharp,2}_{\alpha,J}g$ の振る舞いとの関係を確立する。
• 標準的な dyadic 原子では不十分な $H^1$ の表現を補完するため、dyadic および特別な原子を用いて $H^p(\mathbb{R}^N)$ を特徴付ける。
• 双対性の議論を適用し、dyadic グリッドとモーメント制限付き多項式を用いた $\|f\|_{\dot{\Lambda}_\alpha(\mathbb{R}^N)}$ の公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dyadic グリッドを用いた $\mathbb{R}^N$ における $\dot{\Lambda}_\alpha(\mathbb{R}^N)$ ノルム（$\alpha \geq 0$）は、本当に計算可能か？
• RQ2 dyadic および特別な原子を用いた $H^p(\mathbb{R}^N)$ の特徴付けは、完全性を保証するか？
• RQ3 ハール系による $H^1(\mathbb{R}^N)$ 関数の近似と、BMO または $\dot{\Lambda}_\alpha$ ノルムの計算との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 次数 $\alpha$ のモーメント消去多項式は、dyadic クローズを用いた $\dot{\Lambda}_\alpha(\mathbb{R}^N)$ ノルムの計算において、どの程度の役割を果たすか？

主な発見

• $\dot{\Lambda}_\alpha(\mathbb{R}^N)$ ノルム（$\alpha \geq 0$）は、dyadic クローズ上での最大関数 $M^{\sharp,2}_{\alpha,J}g(x)$ を含む双対性に基づく公式により計算可能である。
• dyadic および特別な原子を用いた $H^p(\mathbb{R}^N)$ の特徴付けにより、標準的な dyadic 原子では不十分な $H^1(\mathbb{R}^N)$ の記述の欠落が解消された。
• $f \in H^1(\mathbb{R})$ が $H^1(\mathbb{R})$ 内のハール系の閉包から離れる距離は、$\left| \int_{\mathbb{R}} f(x) dx \right|$ に比例しており、$H^1$ 内でのハール基底による近似の限界を示している。
• 関数 $g$ に対して、$g - p_Q(g)$ の次数 $\alpha$ までのモーメントを消去する $P(\alpha)$ 内の唯一の多項式 $p_Q(g)$ を構成することで、ノルム計算に向けた正確な局所多項式近似が可能になる。
• 本手法により、関数のグローバルな振る舞いに依存せずに、モーメント条件を通じて $\dot{\Lambda}_\alpha$ ノルムと dyadic グリッドの間の直接的な関係が確立され、明示的な計算が可能になる。