[論文レビュー] From Matching with Diversity Constraints to Matching with Regional Quotas

Haris Aziz, Serge Gaspers+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Global trade and economics被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、多様性制約付き学校選択から地域割当付き病院・医師マッチングへの多項式時間還元を提示し、マッチングの可能性と安定性が変換のもとで保たれることを証明している。主な貢献は、2つのモデル間で複雑さの結果とアルゴリズム的解決策を移転できる正式な接続を確立したことであり、一方でNP困難性が成立するならば他方でもNP困難性が成立することを示し、一方で肯定的な結果が得られるならば他方でも同様の結果が得られることを示している。

ABSTRACT

In the past few years, several new matching models have been proposed and studied that take into account complex distributional constraints. Relevant lines of work include (1) school choice with diversity constraints where students have (possibly overlapping) types and (2) hospital-doctor matching where various regional quotas are imposed. In this paper, we present a polynomial-time reduction to transform an instance of (1) to an instance of (2) and we show how the feasibility and stability of corresponding matchings are preserved under the reduction. Our reduction provides a formal connection between two important strands of work on matching with distributional constraints. We then apply the reduction in two ways. Firstly, we show that it is NP-complete to check whether a feasible and stable outcome for (1) exists. Due to our reduction, these NP-completeness results carry over to setting (2). In view of this, we help unify some of the results that have been presented in the literature. Secondly, if we have positive results for (2), then we have corresponding results for (1). One key conclusion of our results is that further developments on axiomatic and algorithmic aspects of hospital-doctor matching with regional quotas will result in corresponding results for school choice with diversity constraints.

研究の動機と目的

• 多様性制約付き学校選択と地域割当付き病院・医師マッチングという2つの異なるマッチングモデルの間で、形式的な数学的関係を確立すること。
• 1つのモデルから他方への多項式時間還元のもとで、マッチングの可能性と安定性が保たれることを示すこと。
• 多様性制約付き学校選択における可能かつ安定な結果の存在を確認する問題がNP困難であるのなら、地域割当付き病院・医師マッチングにおいても同様にNP困難であることを示すこと。
• 地域割当モデルから多様性制約モデルへの肯定的アルゴリズム的結果の移転を可能にすること—たとえば、安定な結果を求める多項式時間アルゴリズムなど。
• 文献を統合し、1つのモデルにおける発展が他方のモデルに対しても直接的に同様の進展をもたらすことを明らかにすること。

提案手法

• 多様性制約付き学校選択インスタンスの各学校を、地域割当付きインスタンスにおける病院の集合に写像する還元を構築し、タイプ別割当を地域的上限として保つこと。
• 学校選択モデルにおける学生タイプを、病院・医師モデルにおける地域割当にマッピングし、地域割当がタイプ別制約を反映するようにすること。
• 還元されたインスタンスにおける優先順位順序を、元の学校選択モデルで用いられるマスターリストと一致させることで、安定性を保つこと。
• 各学校の定員とタイプ別割当を、同じ地域内での病院に対する地域的制約としてモデル化することで、可能性が保たれることを保証すること。
• 還元を用いて複雑さの結果を移転すること：1つのモデルで可能性と安定性の確認がNP困難であるならば、他方でも同様にNP困難であることを示すこと。
• 還元を適用して、たとえばシリアルディクタトルによる安定な結果の存在といった肯定的結果が、地域割当モデルから多様性制約付き学校選択モデルへと移転できることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様性制約付き学校選択と地域割当付き病院・医師マッチングの間には、形式的な数学的関係が存在するか？
• RQ2 1つのモデルにおける可能かつ安定な結果の存在が、他方のモデルへの還元においても可能性と安定性が保たれるか？
• RQ3 多様性制約付き学校選択における可能かつ安定な結果の存在を確認する問題がNP困難であるならば、地域割当付き病院・医師マッチングにおいても同様にNP困難であるか？
• RQ4 たとえば、安定な結果を求める多項式時間アルゴリズムといった肯定的アルゴリズム的結果が、地域割当モデルから多様性制約モデルへと移転可能か？
• RQ5 この還元は、スロット別優先順位やソフトな割当など、より複雑な変種へと一般化可能か？

主な発見

• 多様性制約付き学校選択から地域割当付き病院・医師マッチングへの還元は、マッチングの可能性と安定性の両方を保つ。
• 多様性制約付き学校選択において、可能かつ安定な結果の存在を確認することはNP困難であり、この結果は地域割当付き病院・医師マッチングに対しても同様に成り立つ。
• 地域割当モデルにおける肯定的結果—たとえば、シリアルディクタトルによる安定な結果の存在—は、多様性制約モデルに対しても同様の結果をもたらす。
• 還元によりアルゴリズム的解決策の移転が可能である：たとえば、還元されたインスタンスにシリアルディクタトルを適用することで、元の学校選択モデルにおいて可能で、浪費がなく、マスターリストに従った公正な結果が得られる。
• 形式的な接続により、かつて別個の研究分野であった2つの分野が統合され、公理的およびアルゴリズム的知見のモデル間移転が可能になった。
• 還元は、スロット別優先順位やソフトな多様性制約といった高度な変種へと一般化可能であり、モデル間のマッピングが維持される。