[論文レビュー] From modular forms to differential equations for Feynman integrals

Johannes Broedel, Claude Duhr+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Algebraic and Geometric Analysis被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、多ループフェニマン積分における微分方程式を解くために重要なモジュラー形式を、第一種完全楕円積分の累乗と代数関数の積として完全に表現する体系的な手法を提示する。SL(2,Z)の合同部分群における Hauptmodul および正則性制約を活用することで、これらの形式が反復積分と直接結びつく純代数的表現を可能にするモジュラー形式の基底を構築する。主な結果として、スイニーズおよびキーティー・フェニマン積分が Γ₁(6) に対するモジュラー形式の反復積分として表現可能であることが示され、従来の結果が確認されかつ一般化される。

ABSTRACT

In these proceedings we discuss a representation for modular forms that is more suitable for their application to the calculation of Feynman integrals in the context of iterated integrals and the differential equation method. In particular, we show that for every modular form we can find a representation in terms of powers of complete elliptic integrals of the first kind multiplied by algebraic functions. We illustrate this result on several examples. In particular, we show how to explicitly rewrite elliptic multiple zeta values as iterated integrals over powers of complete elliptic integrals and rational functions, and we discuss how to use our results in the context of the system of differential equations satisfied by the sunrise and kite integrals.

研究の動機と目的

• SL(2,Z) の合同部分群、特にモジュラー曲線の genus がゼロであるもののモジュラー形式の体系的代数的表現を確立すること。
• 量子場理論における微分方程式法と楕円型多重多価対数関数 (eMPLs) の数学的枠組みとのギャップを埋めること。
• フェニマン積分の微分方程式の解をモジュラー形式および代数的・有理関数上の反復積分として表現する実用的基盤を提供すること。
• 本手法がスイニーズおよびキーティー積分といった複数の運動量不変量に依存する物理系に適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 最低重量の種となるモジュラー形式と合同部分群の Hauptmodul を用いて、正則性および群作用下での変換性を保証するモジュラー形式の基底を構築する。
• 第一種完全楕円積分の累乗と Hauptmodul の有理関数の積の線形結合として、モジュラー形式を表現する。これは genus がゼロの合同部分群に対して有効である。
• 種となる形式の解析的性質およびモジュラー変換則に依拠して、一般解のアンサンブルを導出し、深いつまりの数論的入力を避ける。
• 各合同部分群（例：Γ₁(6)）に対して、与えられた重量のモジュラー形式の基底を体系的に生成し、明示的な例で検証する。
• この構成を用いて、スイニーズおよびキーティー積分の微分方程式を、完全楕円積分で重み付けられた有理関数上の反復積分に書き直す。
• この方法により、これらの積分の ε 形微分方程式におけるすべての統合カーネルが Γ₁(6) に対するモジュラー形式であることが確認され、eMPLs との直接的なリンクが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SL(2,Z) の合同部分群に対するモジュラー形式は、完全楕円積分と代数関数の観点から体系的に表現可能か？
• RQ2 多ループフェニマン積分の微分方程式は、楕円型多重多価対数関数の数学的枠組みと整合する形に再定式化可能か？
• RQ3 スイニーズおよびキーティー図の微分方程式における統合カーネルと、Γ₁(6) に対するモジュラー形式との明確な関係は何か？
• RQ4 楕円型多重ゼータ値は、完全楕円積分で重み付けられた有理関数上の反復積分として表現可能か？
• RQ5 フェニマン積分の微分方程式の解空間は、どの程度、モジュラー形式に基づく代数的パラメータ化によって記述可能か？

主な発見

• genus がゼロである合同部分群（例：Γ₁(6)）に対するモジュラー形式は、第一種完全楕円積分の累乗と Hauptmodul の有理関数の積の線形結合として表現可能である。
• キーティー図の微分方程式における関数 f₂ が Γ₁(6) に対して重み2のモジュラー形式であることが示され、その代数的構造が裏付けられる。
• スイニーズおよびキーティー積分の ε 形微分方程式におけるすべての統合カーネルが Γ₁(6) に対するモジュラー形式として特定され、そのモジュラー性が明確に現れる。
• この構成により、楕円型多重ゼータ値を完全楕円積分で重み付けられた有理関数上の反復積分として直接書き直すことが可能になる。
• この手法は、複雑なモジュラー曲線理論に依存せず、モジュラー形式の体系的かつ代数的パラメータ化を提供し、マルチスケールフェニマン積分への応用を容易にする。
• 結果として、スイニーズおよびキーティー積分がすべての ε の次数においてモジュラー形式の反復積分として表現可能であることが確認され、より透明な代数的枠組みで従来の結果と整合する。