[논문 리뷰] From the Deligne-Ihara conjecture to Multiple Modular Values

Francis Brown|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 37인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 체적선형에서의 갈루아 작용에 대한 Deligne-Ihara 추측과 다중 모듈라 값(MMVs) 이론 사이의 깊은 연결을 확립하며, 모듈라 형식과 에이젠스타인 급수의 주기들이 모티브 갈루아 이론에서의 확장으로 나타나는 방식을 보여준다. 다중 리만 제타값이 MMVs에 나타나는 이유를 설명하는 전이 관계를 도입하여, 다중 L값의 더 넓은 프레임워크 안에서 이들을 통합한다.

ABSTRACT

This is the write-up of a talk given in honour of Prof. Ihara's 80th Birthday conference in Kyoto in 2018. After briefly reviewing the work of Ihara on the projective line minus 3 points, I outline the main ideas in the proof of the Deligne-Ihara conjecture and provide an update on recent progress in this area and raise some new questions. The second part of the talk outlines the main features of the corresponding theory in genus one, i.e., on the moduli stack of elliptic curves. It contains many concrete and elementary examples to illustrate the main features of the theory and to make it more widely accessible. In particular, the case of non-abelian cocycles associated to a pair of modular forms of level one is discussed in some detail. It also contains some new conjectures which have not previously appeared in print.

연구 동기 및 목표

• 제로 성질의 Deligne-Ihara 추측의 함의를 탐색하고 다중 제타값과의 관계를 규명한다.
• 특히 모듈라 형식과 에이젠스타인 급수를 포함한 제1 성질에서의 다중 모듈라 값 이론의 초석을 마련한다.
• 전이 관계를 통해 이중 에이젠스타인 적분에 다중 제타값이 갑작스럽게 나타나는 이유를 설명한다.
• 다중 제타값과 다중 모듈라 값을 다중 L값의 더 넓은 프레임워크 아래 통합한다.
• MMV의 구조와 모듈라 형식, 주기와의 관계를 보여주는 수치적 예제를 제시한다.

제안 방법

• 혼합 타이트 모티브의 범주에서의 모티브 기본군자리의 사용을 통해 Deligne-Ihara 추측의 모티브 일반화를 수립한다.
• 전통적인 실현(베티, 드람, ℓ-아디크)을 적용하여 모티브 구조와 주기, 갈루아 작용을 연결한다.
• 에이젠스타인 급수와 측두형식 사이의 다중 모듈라 값 간의 전이 관계를 도입하여, 한 형식의 주기가 다른 형식으로 전이되는 방식을 설명한다.
• 랭킨-셀버그 방법과 바일린슨의 추측을 사용하여 모듈라 형식과 그 L값을 포함하는 모티브의 확장을 분석한다.
• 비임계 및 준임계 L값의 개념을 사용하여 타이트 모티브의 확장에서 주기를 분류한다.
• 예제 8.5에서와 같이 유리 계수와 알려진 제타값을 포함하는 명시적 대수적 항등식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 예를 들어 δˡ₁₂를 포함하는 무게 12 관계인 [σ³ˡ, σ⁹ˡ] − 3[σ⁵ˡ, σ⁷ˡ] = (691/144)δ¹²ˡ와 같은 리 대칭 𝔤ˡ 내의 근접관계는 모듈라 형식과 측두형식과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 다중 제타값은 어느 정도의 이중 에이젠스타인 적분에 나타나며, 그 등장은 무엇에 의해 설명되는가?
• RQ3 전이 관계가 에이젠스타인 급수의 다중 모듈라 값에 다중 제타값이 나타나는 것을 완전히 설명할 수 있는가?
• RQ4 모티브 갈루아 군은 다중 제타값과 다중 모듈라 값을 통합하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 무게 12에서의 측두형식 Δ의 주기와 다중 모듈라 값 간의 관계는 무엇이며, 랭킨-셀버그 방법 없이 이를 설명할 수 있는가?

주요 결과

• 무게 12 관계 [σ³ˡ, σ⁹ˡ] − 3[σ⁵ˡ, σ⁷ˡ] = (691/144)δ¹²ˡ 는 깊이 필터링에서 δ¹²ˡ의 소멸로 인해 거의 관계이며, 첫 번째로 비영인 무게 12의 측두형식 Δ와 연결되어 있다.
• 추측 2는 다중 모듈라 값의 선형 조합에서의 계수 c⁺_{G₄,G₁₀;Δ}가 ζ₃,₇/π¹⁰의 유리수 배와 같다고 예측하며, 이는 MMV와 다중 제타값을 연결한다.
• 명시적 항등식 (8.3)은 Λ(Δ, G₄;11,1), Λ(Δ, G₄;10,2), Λ(Δ, G₄;6,2)의 조합이 Λ(Δ;3), Λ(G₄,G₁₀;2,5), Λ(G₄,G₁₀;3,5)의 곱의 유리수 조합과 같음을 보여주며, 이는 전이를 입증한다.
• Λ(G₄,G₁₀;3,1)에서 ζ₃,₇의 등장은 Λ(G₄,G₈;1,1)으로부터 전이된 것으로 설명되며, 이는 다중 제타값일 것이라 추측된다.
• 길이 2의 다중 모듈라 값은 타이트 모티브의 확장을 위한 주기를 유도하며, 이는 세 개의 에이젠스타인 급수, 한 개의 측두형식과 두 개의 에이젠스타인 급수, 두 개의 측두형식과 한 개의 에이젠스타인 급수, 또는 세 개의 측두형식의 존재 여부에 의해 분류된다.
• 삼중 랭킨-셀버그 확장과 관련된 주기 c_{f,g;h}는 중심 임계 L값을 나타내며, 세 개의 비표준 주기를 포함한다. 이는 예외적인 무게-일 경우 바일린슨의 추측과 일치한다.