[論文レビュー] From volume cone to metric cone in the nonsmooth setting

Nicola Gigli, Guido De Philippis|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、${\sf RCD}^{*}(K,N)$ 空間において、球の測度が錐におけるものとスケーリングする『体積錐構造』が、完全なメトリック錐構造を意味することを確立している。勾配流れ、バースマン型関数、およびブロー・アップ解析を用いて、ある点を中心とする球の測度が錐のものとスケーリングするならば、その空間は次元を1つ下げた${\sf RCD}^{*}(N-2,N-1)$ 空間上のメトリック錐に局所等長であることを証明しており、古典的結果を滑らかでない設定に拡張している。

ABSTRACT

We prove that `volume cone implies metric cone' in the setting of RCD spaces, thus generalising to this class of spaces a well known result of Cheeger-Colding valid in Ricci-limit spaces.

研究の動機と目的

• リッチ極限空間における古典的『体積錐はメトリック錐を意味する』定理を、${\sf RCD}^{*}(K,N)$ 空間という滑らかでない設定に拡張すること。
• 空間が滑らかでない場合でも、ある点まわりの球の測度のスケーリング性質が、局所的なメトリック錐構造を意味することを確立すること。
• 再スケーリングとブロー・アップ技術を用いて、錐の球面的断面が自身で${\sf RCD}^{*}(N-2,N-1)$ 空間であることを示すこと。
• 結果を中空領域に拡張し、中空領域の体積が錐とスケーリングするならば、その中空領域が再スケーリングされた球面上のメトリック錐に局所等長であることを証明すること。

提案手法

• 空間内の測度とエネルギーの進化を分析するため、バースマン型関数$\rm b(x)$の勾配流れの使用。
• ${\sf RCD}^{*}$ 空間の文脈において、特に微分積分学的道具のメトリック測度空間への応用。
• 曲率次元性質を分析するため、$S_{{\sf R}/2}({\sf O})$ 上の距離と測度構造としての再スケーリングされた球面$Z$の定義。
• 中心点におけるブロー・アップ解析を用いて、再スケーリングされた球面$Z$が${\sf RCD}^{*}(N-2,N-1)$ 条件を満たすことを検証すること。
• 球面$Z$上のメトリック錐$Y$の構成と、$X$と$Y$における中空領域の等長的かつ測度を保存する写像による比較。
• ケッターの錐におけるリッチ曲率下界に関する結果を用いて、空間の幾何構造を確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度が錐におけるものとスケーリングするという条件が、滑らかでない${\sf RCD}^{*}(K,N)$ 空間において、空間が局所的にメトリック錐に等長であることを意味するか。
• RQ2 このような体積錐の球面的断面が、自然な${\sf RCD}^{*}(N-2,N-1)$ 構造を持つことが示せるか。
• RQ3 $S_{{\sf R}/2}({\sf O})$ に2点より多くの点が含まれる場合、空間の正確な幾何学的・測度論的構造は何か。
• RQ4 中空領域において、体積が錐とスケーリングするならば、結果はどのように一般化されるか。
• RQ5 中空領域が凸でないにもかかわらず、同じ技法を用いて錐の球面が${\sf RCD}^{*}(N-1,N)$ 空間であることを示せるか。

主な発見

• もし$S_{{\sf R}/2}({\sf O})$ が1点しか含まなければ、$({\rm X},{\sf d})$ は区間$[0,\text{diam}({\rm X})]$ または$[0,\infty)$ に等長であり、測度は$c x^{N-1} dx$ と一致する。
• もし$S_{{\sf R}/2}({\sf O})$ が2点を含めば、$({\rm X},{\sf d})$ は1次元リーマン多様体であり、$(-{\sf R},{\sf R})$ に局所等長で、測度$c |x|^{N-1} dx$ を保存する。
• もし$S_{{\sf R}/2}({\sf O})$ が2点を超えて含めば、$B_{\sf R}({\sf O})$ は次元$N-2$ の${\sf RCD}^{*}(N-2,N-1)$ 空間$Z$ 上のメトリック錐$Y$ の半径${\sf R}$ の球に局所等長であり、その等長写像は$\bar{B}_{{\sf R}/2}({\sf O})$ 上で測度を保存する。
• 再スケーリングされた球面$Z$ は、$S_{{\sf R}/2}({\sf O})$ に誘導された距離と測度を備えたものとして構成され、${\sf RCD}^{*}(N-2,N-1)$ 条件を満たす。
• 結果は中空領域へ拡張可能である：中空領域の体積が錐とスケーリングするならば、その中空領域は再スケーリングされた球面上の錐の対応する中空領域に局所等長である。
• 証明は、曲率パラメータでスケーリングされた距離の$\cos$ または$\cosh$ を用いて定義されるバースマン型関数$\rm b(x)$ と、勾配流れ技術に依存している。