[論文レビュー] Full Counting Statistics: An elementary derivation of Levitov's formula

Israel Klich|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2002

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、Fock空間のトレースを単粒子行列式に写像するトレース公式を用いて、非相互作用フェルミオン系におけるフルカウンティング統計のレヴィトフの公式の新規で初等的な導出を提示する。この手法により、電荷輸送の特性関数の行列式表現を厳密に導出でき、ボソン系へも一般化可能であり、正則化の問題が生じない、熱力学的および断熱的極限を明確に定義できる枠組みを提供する。

ABSTRACT

We present a novel derivation of the original Levitov formula, for the statistics of charge transported between electron reservoirs. This is done by proving a trace formula, which relates certain traces in Fock space to single particle determinants. Using the present approach we find in addition several generalizations, such as a corresponding formula for Bosons.

研究の動機と目的

• 非相互作用フェルミオン系におけるフルカウンティング統計のレヴィトフの行列式表現の、新たな初等的導出を提供すること。
• Fock空間のトレースと単粒子行列式を結びつける一般化されたトレース公式を確立し、量子輸送統計の研究を容易にすること。
• 形式的体系をボソン系へ拡張し、ボソン系のフルカウンティング統計に対応する行列式表現を導出すること。
• 熱力学的および長時間極限における正則化の課題を克服するため、特性関数の有限時間で明確に定義された表現を導出すること。
• 特に量子ポンプおよび散乱系において、輸送モーメントおよび電流レートの体系的解析を可能にする、導出された形式的体系を活用すること。

提案手法

• トレース恒等式の導出: $\mathrm{Tr}(e^{\Gamma(A)}e^{\Gamma(B)}) = \det(1 - \xi e^A e^B)^{-\xi}$、ここで $\xi = -1$ はフェルミオン、$\xi = 1$ はボソンを表し、$\Gamma$ は単粒子演算子の第二量子化表現である。
• 特性関数 $\chi(\lambda, T)$ を Fock空間におけるトレースとして表現: $\chi = \mathrm{Tr}(\rho_0 \, e^{iq \mathbb{U}^\dagger \Gamma(\lambda) \mathbb{U}} \, e^{-iq \Gamma(\lambda)})$、ここで $\rho_0$ は初期密度行列で、$\mathbb{U}$ は時間発展演算子である。
• トレース公式を適用して、散乱行列 $S$ を含む単粒子演算子の行列式に Fock空間のトレースを変換する。
• 短い散乱時間および長い時間発展演算の極限で、レヴィトフの元来の公式を回復する: $\chi(\lambda) = \det(1 + n(S^\dagger e^{iq\lambda} S e^{-iq\lambda} - 1))$。
• 行列式の符号と占有数演算子を変更することで、ボソン系への一般化を実施し、$\chi_B(\lambda) = 1 / \det(1 - n_B(U^\dagger e^{iq\lambda} U e^{-iq\lambda} - 1))$ を得る。
• 空間領域 $A$ における電荷蓄積率 $\dot{Q}_A = q \, \mathrm{Re} \langle U \dot{U}^\dagger P_A \rangle_t$ を導出し、散乱行列形式と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fock空間におけるトレース恒等式を用いて、レヴィトフのフルカウンティング統計の行列式表現を第一原理からどのように導出できるか？
• RQ2 フルカウンティング統計の形式的体系をボソン系へ一般化した場合、フェルミオン系とはどのように異なるか？
• RQ3 熱力学的極限における正則化の問題を回避するため、有限時間で明確に定義された特性関数の表現はどのように得られるか？
• RQ4 短い散乱時間極限における時間発展演算子と散乱行列の関係は何か？ そしてそれがどのようにレヴィトフの公式を導くか？
• RQ5 空間領域における電荷蓄積率は特性関数からどのように計算可能か？ また、量子ポンプにおける電流公式とどのように関連するか？

主な発見

• 新しいトレース公式が導出された: $\mathrm{Tr}(e^{\Gamma(A)}e^{\Gamma(B)}) = \det(1 - \xi e^A e^B)^{-\xi}$、これはフェルミオンおよびボソン系の両方において、Fock空間のトレースを単粒子行列式に写像する。
• 非相互作用フェルミオン系のフルカウンティング統計は、$\chi(\lambda, T) = \det(1 + n(U^\dagger e^{iq\lambda} U e^{-iq\lambda} - 1))$ として表現され、熱力学的極限における正則化の問題を回避する有限時間で明確に定義された表現である。
• $T \to \infty$ および短い散乱時間の極限で、レヴィトフの元来の公式が回復される: $\chi(\lambda) = \det(1 + n(S^\dagger e^{iq\lambda} S e^{-iq\lambda} - 1))$。
• ボソン系に対応する公式が導出された: $\chi_B(\lambda, T) = 1 / \det(1 - n_B(U^\dagger e^{iq\lambda} U e^{-iq\lambda} - 1))$、ここで $n_B$ はボソン占有数演算子である。
• 空間領域 $A$ における電荷蓄積率は $\dot{Q}_A = q \, \mathrm{Re} \langle U \dot{U}^\dagger P_A \rangle_t$ で与えられ、特性関数の時間微分と散乱行列のダイナミクスを結びつける。
• この形式的体系により、任意のモーメントの計算および断熱的・長時間的・熱力学的極限における挙動の解析が、恣意的な正則化を用いずに体系的に行える枠組みが提供される。