[論文レビュー] Fully Computable Error Bounds for Eigenvalue Problem

Hehu Xie, Meiling Yue+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般メッシュ上での従順な方法を用いた固有値問題の有限要素近似に対して、完全に計算可能な誤差上限を提示する。補完的エネルギー法と後騒誤差推定を組み合わせることで、固有関数誤差に対して保証された上界と、最初の固有値に対して保証された下界を達成し、準均等メッシュおよび正則メッシュの両方で漸近的正確性とロバスト性を有する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the computable error estimates for the eigenvalue problem which is solved by the general conforming finite element methods on the general meshes. Based on the computable error estimate, we can give an asymptotically lower bound of the general eigenvalues. Furthermore, we also give a guaranteed upper bound of the error estimates for the first eigenfunction approximation and a guaranteed lower bound of the first eigenvalue based on computable error estimator. Some numerical examples are presented to validate the theoretical results deduced in this paper.

研究の動機と目的

• 従順有限要素法を用いた固有ペア近似の計算可能な後騒誤差推定を開発すること。
• 最初の固有関数近似の誤差に対する保証された上界を提供すること。
• 計算可能な推定器を用いて最初の固有値に対する保証された下界を導出すること。
• 一般メッシュ上での一般固有値に対して、誤差推定の漸近的正確性および漸近的下界を保証すること。
• 線形および二次の有限要素を用いた適応的および正則メッシュ上で、手法を数値的に検証すること。

提案手法

• 補完的エネルギー法を用いて、固有関数誤差の計算可能な誤差推定器を構築する。
• 後騒誤差推定技術を適用して、エネルギーノルム誤差 $\|u - u_h\|_a$ の上界を導出する。
• 誤差推定器を計算するために、有限要素空間 $\mathbf{W}_h^0$ および $\mathbf{W}_h^1$ で解かれる双対問題を用いる。
• 計算された誤差推定器と $\lambda_2$ の下界を用いて、最初の固有値 $\lambda_1$ の保証された下界を導出する。
• 局所的な要素ごとの寄与から、グローバルな後騒誤差推定子 $\eta_{\rm ad}(\lambda_h, u_h)$ を構築する。
• 線形および二次要素を用いた適応的および均一メッシュ上で、L字型領域を用いて手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般メッシュ上での従順有限要素法を用いた固有ペア近似に対して、完全に計算可能な後騷誤差境界を構築できるか？
• RQ2 この手法は、固有関数誤差に対して保証された上界と、最初の固有値に対して保証された下界を提供できるか？
• RQ3 誤差推定は非均等メッシュまたは正則メッシュでも、漸近的に正確かつロバストなままであるか？
• RQ4 双対有限要素空間（$\mathbf{W}_h^0$ と $\mathbf{W}_h^1$）の選択が、誤差推定器および下界の精度にどのように影響するか？
• RQ5 この手法は、密度汎関数理論に現れる非線形固有値問題へと拡張可能か？

主な発見

• 提案された計算可能な誤差推定子 $\eta_{\rm ad}(\lambda_h, u_h)$ は、一般メッシュ上での固有ペア近似に対して効率的かつ漸近的に正確である。
• 上界 $\eta_h^U(\lambda_h, u_h, \mathbf{y}_h^*)$ は、線形および二次有限要素の両方において、真のエネルギー誤差 $\|u - u_h\|_a$ を信頼性高く上界で抑える。
• 計算された下界 $\lambda_h^L$ は、双対問題が $\mathbf{W}_h^0$ または $\mathbf{W}_h^1$ で解かれていようが、最初の固有値 $\lambda_1$ の保証された下界である。
• L字型領域における数値結果は、後騒誤差推定子の効率性および線形および二次要素の両方における保証された境界の信頼性を確認している。
• 手法は適応的および正則メッシュにおいても、高い精度を維持し、その一般性と実用性を示している。
• 本手法は、ステクロフ問題、ストークス問題、および密度汎関数理論に由来する非線形固有値問題など、他の固有値問題へも拡張可能である。