[論文レビュー] Fully Coupled Forward-Backward Stochastic Functional Differential Equations and Applications to Quadratic Optimal Control

XU Xiao-ming|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、過去の経路情報に依存する前方成分と、将来の経路情報に依存する後方成分を有する完全に結合された前向き・後向き確率的関数微分方程式（FBSFDEs）の解の存在および一意性を確立する。この理論を応用して、二次的最適制御問題を解き、FBSFDEフレームワークを用いて明示的かつ一意な最適制御則を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the fully coupled forward-backward stochastic functional differential equations (FBSFDEs) with stochastic functional differential equations as the forward equations and the generalized anticipated backward stochastic differential equations as the backward equations. We will prove the existence and uniqueness theorem for FBSFDEs. As an application, we deal with a quadratic optimal control problem for functional stochastic systems, and get the explicit form of the optimal control by virtue of FBSFDEs.

研究の動機と目的

• 経路に依存する前方および予測的後方成分を有する完全に結合された前向き・後向き確率的関数微分方程式（FBSFDEs）の解の存在および一意性を確立すること。
• 状態および双対過程の全過去および全未来の経路に関する一般関数的依存性を組み込むことによって、古典的FBSDE理論を拡張すること。
• 遅延および経路に依存する係数を有する関数的確率的システムに対する二次的最適制御問題に理論的結果を応用すること。
• FBSFDEフレームワークを用いて、このようなシステムにおける最適制御の明示的・閉形式の表現を導出すること。

提案手法

• 前方方程式が全過去経路に依存する確率的関数微分方程式（SFDE）であり、後方方程式が全未来経路に依存する一般化された予測的BSDEである、一般クラスのFBSFDEを定式化する。
• システムの適切な定義を保証するため、係数に標準的なリプシッツ条件および線形成長条件を課す。
• 適切な確率的関数空間における不動点議論および事前推定を用いて、FBSFDEシステムの解の存在および一意性を証明する。
• ブラウン運動によって駆動され、経路に依存するドリフトおよび拡散係数を有する関数的確率的システムに対する二次的最適制御問題にFBSFDEの解を適用する。
• ハミルトニアン・ジョブ・ベルマン（HJB）型方程式を導出し、随伴方程式を用いて最適制御を特徴付ける。
• 最適制御を $ u_t = -N_t^{-1}(C_t^T Y_t + F_t^T Z_t) $ として確立し、一次最適性条件から導出し、エネルギー推定を用いて検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経路に依存するダイナミクスを有する完全に結合された前向きおよび後向き確率的関数微分方程式系が、どのような条件下で一意な解を有するか。
• RQ2 予測的後向きSDE理論は、結合された前向き・後向き系において、将来の経路に関する一般関数的依存性をどのように拡張できるか。
• RQ3 このような一般化されたFBSFDE系の解は、遅延および経路に依存する係数を有する二次的最適制御問題を解くのに用いることができるか。
• RQ4 二次的コスト関数を有する関数的確率的システムにおける最適制御の明示的形は何か、そしてそれは一意的か。

主な発見

• 係数に標準的なリプシッツ条件および線形成長条件を課す限り、完全に結合されたFBSFDE系の解の存在および一意性が証明される。
• FBSFDE系の解が、遅延および経路に依存するダイナミクスを有する関数的確率的システムにおける二次的コスト関数の最適制御を導出するために用いられる。
• 最適制御は明示的に $ u_t = -N_t^{-1}(C_t^T Y_t + F_t^T Z_t) $ と与えられ、ここで $ Y_t $ および $ Z_t $ はFBSFDE解の成分である。
• 最適制御は、凸性の議論および制御重み行列 $ N_t $ の正定値性を用いて一意性が証明される。
• 導出はエネルギー推定および状態過程と随伴過程の双対性に依拠しており、コスト関数の一次変動が最適制御において消えることを示している。
• この方法により、最適制御がFBSFDE系によって特徴付けられることを確認し、このような制御問題を体系的に解く手法を提供する。