[論文レビュー] Function Approximation with Quantum Circuit

Alberto Delgado|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Numerical Methods and Algorithms参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、期待値を用いた関数近似を実現する2キュービットのパラメータ化された量子回路を提案し、テイラー展開を用いて立方多項式を表現できることを証明している。シミュレーションにより、二次関数、ガウス関数、シグモイド関数を低誤差で正確に近似でき、量子強化型機械学習部品の可能性を裏付けた。

ABSTRACT

A mathematical proposition with a trainable pair, operator and quantum circuit, are introduced to approximate functions expressed as cubic Taylor polynomials, numerical simulations illustrate three cases.

研究の動機と目的

• パラメータ化された量子回路がトレーニング可能なパラメータと演算子を用いて複雑な関数を近似できることを示すこと。
• 量子回路の期待値がテイラー級数展開を用いて立方多項式を表現できることを数学的に証明すること。
• ニューラルネットワークの基盤をなすシグモイド関数が、量子回路を用いて効果的に近似できることを示すこと。
• ガウス関数やシグモイド関数といった非多項式関数に対して、小型の量子回路の近似性能を評価すること。
• 量子回路の複雑さと近似精度のトレードオフを調査すること。

提案手法

• 入力状態 |00⟩ で初期化された、回転ゲート R(x−θi) とアダマールゲートを用いた2キュービットのパラメータ化された量子回路を構築した。
• 回路のユニタリ演算子 U は R(x−θ2)⊗R(x−θ1)(H⊗H) として定義され、入力 x が量子状態 |ψ(θ1,θ2,x)⟩ に符号化された。
• 期待値 ⟨G⟩ は対角行列 G（要素 g0 から g3）を用いて計算され、x に関する立方多項式として得られた。
• 立方多項式の係数 a0 から a3 は、θ1, θ2 および G の対角要素の関数である。
• 30個のサンプル（[−1.5, 1.5] 範囲内）に対して、化学走性に基づく最適化アルゴリズムを用いて性能指標 J = Σ(f(xk)−f̂(xk))² を最小化した。
• 理論的導出により、回転ゲートの振幅のテイラー展開が二次振幅を導き、結果として立方期待値が得られることを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2キュービットのパラメータ化された量子回路は、その期待値を用いて立方多項式を近似できるか？
• RQ2 このような回路は、ガウス関数やシグモイド関数といった非多項式関数をどの程度正確に近似できるか？
• RQ3 近似誤差は量子回路の複雑さとパラメータチューニングの程度とどのように関係するか？
• RQ4 量子回路の期待値は、ニューラルネットワークの主要な活性化関数をカバーする普遍的な関数近似器として機能できるか？
• RQ5 バイオインスパイアド最適化アルゴリズムは、関数近似のための量子回路トレーニングにおいてどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 2キュービットの量子回路の期待値 ⟨G⟩ は、調整可能な係数を有する x に関する立方多項式として数学的に証明された。
• 二次関数 f(x) = x² に対して、5000回の反復後、性能指標 J は 0.03 にまで低下し、θ = [1.373, 1.770]、G の対角要素は [-0.081, 2.260, 2.272, 4.954] であった。
• ガウス関数 f(x) = e⁻ˣ² に対しては、J = 0.005 の近似精度が達成され、θ = [0.497, -0.498]、G = diag[-0.088, 1.152, 1.711, -0.089] であった。
• シグモイド関数 f(x) = tanh(x) は、J = 0.006 の誤差で近似可能であり、θ = [0.266, 0.069]、G = diag[-0.885, 0.055, 0.466, 0.931] を用いた。
• シミュレーションにより、量子回路が、ニューラルネットワークに不可欠な関数クラスを低誤差で近似できることを確認した。
• 近似誤差は回路の複雑さとパラメータチューニングに敏感であり、J の値が小さいほど滑らかな関数に対して高い忠実度が得られることを示した。