[논문 리뷰] Functional equations for the Stieltjes constants

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 16.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 허비츠 제타 함수와 다이감마 함수를 포함한 푸리에 유형 전개 및 적분 표현을 사용하여, 유리수 인수 a = j/m 에서의 첫 번째 및 두 번째 스티엘티제 상수 γ₁(a) 및 γ₂(a)에 대한 명시적 함수 방정식을 유도한다. 주요 기여는 γ₁(j/m) 및 γ₂(j/m)를 기본 상수, 로그, 바네스 G-함수 및 제타 함수 도함수의 특수값으로 나타낸 폐쇄형 평가를 제공함으로써 해석수론에서 새로운 계산 및 점근 도구를 가능하게 한다.

ABSTRACT

The Stieltjes constants $γ_k(a)$ appear as the coefficients in the regular part of the Laurent expansion of the Hurwitz zeta function $ζ(s,a)$ about $s=1$. We present the evaluation of $γ_1(a)$ and $γ_2(a)$ at rational argument, being of interest to theoretical and computational analytic number theory and elsewhere. We give multiplication formulas for $γ_0(a)$, $γ_1(a)$, and $γ_2(a)$, and point out that these formulas are cases of an addition formula previously presented. We present certain integral evaluations generalizing Gauss' formula for the digamma function at rational argument. In addition, we give the asymptotic form of $γ_k(a)$ as $a o 0$ as well as a novel technique for evaluating integrals with integrands with $\ln(-\ln x)$ and rational factors.

연구 동기 및 목표

• 유리수 인수에서의 첫 번째 및 두 번째 스티엘티제 상수에 대한 명시적 폐쇄형 표현을 유도함으로써, γ₀(a) = −ψ(a)에 알려진 결과를 확장한다.
• 일반적인 기능적 프레임워크의 특수한 경우로서 γ₀(a), γ₁(a), γ₂(a)에 대한 곱셈 및 덧셈 공식을 수립한다.
• ln(−ln x)과 유리 함수를 포함하는 특정 유형의 로그-로그 적분을 평가하고, 이를 스티엘티제 상수의 차이와 연결한다.
• 특히 단위근에서 극을 갖는 다항식을 분모로 갖는 ln(−ln x)과 함께 나오는 적분을 평가하는 새로운 방법을 제공한다.
• γₖ(j/m) − γₖ(1)의 차이가 로그 합과 허비츠 제타 함수 및 그 도함수의 특수값과 어떻게 연결되는지 밝힌다.

제안 방법

• s=1 근처에서 허비츠 제타 함수 ζ(s,a)의 로랑 전개를 사용하여, γₖ(a)를 계수로 정의한다.
• 다음과 같은 적분 ∫₀¹ ln(−ln x)/(x−a) dx 에 부분분수 분해를 적용하고, s=1에서 다이로그함수 도함수의 알려진 적분 표현을 활용한다.
• 리만 제타 함수의 함수 방정식과 s=0, −1, −2 등에서의 ζ(s,a)의 특수값을 사용하여 결과를 Γ(a) 및 ψ(a) 함수로 표현한다.
• 고차 로그 적분을 다루기 위해 항등식 ∂/∂s Liₛ(z)|ₛ₌₁ = −∑ₙ₌₁^∞ (lnⁿ z)/n! ⋅ ζ′(1−n, z) 를 활용한다.
• 적분 전개에서 발생하는 무한급수를 평가하기 위해 ζ′(1−n) 및 ζ′′(1−n)을 포함한 합공식을 적용한다.
• 기존의 기능적 항등식, 예를 들어 ζ′(0,a) = ln Γ(a) − ½ ln(2π) 및 Γ 및 ζ 함수의 반사 공식을 결과와 결합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 정수 j < m 에 대해 유리수 인수 j/m 에서의 첫 번째 스티엘티제 상수 γ₁(j/m)의 정확한 함수 형태는 무엇인가?
• RQ2 두 번째 스티엘티제 상수 γ₂(j/m)는 어떤 특수함수와 상수로 표현될 수 있는가?
• RQ3 분모가 단위근에서 근을 갖는 유리함수 p(x)를 갖는 ∫₀¹ ln(−ln x)/p(x) dx 형식의 적분은 제타 함수 및 다이감마 함수를 사용하여 폐쇄형으로 평가될 수 있는가?
• RQ4 γₖ(j/m) − γₖ(1)의 차이와 n ≥ 0 에 대한 [lnᵏ(n+j/m)/(n+j/m)] 의 로그 합 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 ln(−ln x)과 유리수 분모를 포함하는 적분을 평가하는 데 사용할 수 있는 새로운 방법은 무엇인가?

주요 결과

• γ₁(j/m)에 대한 명시적 공식이 유도되었으며, 기본 상수, γ, ln(2π), ln m, ψ(j/m) 및 ζ′′(0, r/m)에 대한 삼각함수 합으로 구성된다.
• γ₂(j/m)/2에 대한 폐쇄형 표현이 γ, π², γ₁, ζ′(0, r/m), ζ′′(0, r/m), ζ′′′(0, r/m) 및 cot(πj/m)와 ψ(j/m)에 의존하는 수정항 A를 포함하여 제시된다.
• 적분 I₂ = ∫₀¹ ln(−ln x)/(1+x²) dx 는 π/4 [ln(π/8) + γ + ∑ₘ₌₁^∞ ζ(2m+1)/(16ᵐ(2m+1))] 로 평가되며, 이는 π/2 ln(√(2π) Γ(3/4)/Γ(1/4)) 로 단순화된다.
• 분모가 단위근에서 근을 갖는 유리함수 q(x)에 대해 ∫₀¹ ln(−ln x)/q(x) dx 를 평가하는 일반적인 방법이 개발되었으며, 부분분수와 다이로그함수 도함수를 사용한다.
• 이 방법을 통해 ∫₀¹ ln(−ln x)/(x²−2x cos δ +1) dx = −π/(2 sin δ) [ (δ/π) ln(2π) − ln δ + ln Γ(1+δ/(2p))/Γ(1−δ/(2p)) ] 이다. 이는 |δ| < π 일 때 성립한다.
• 논문은 ∑ᵣ₌₁^q γₖ(r/q) = q(−1)ᵏ ln^{k+1}q/(k+1) + q∑ⱼ₌₀^k (−1)ʲ (k choose j) lnʲq ⋅ γ_{k−j} 를 수립하였으며, 이는 k=1 및 k=2 에 대해 유도된 공식을 통해 검증된다.