[論文レビュー] Functorial products for $GL_2 imes GL_3$ and the symmetric cube for $GL_2$

Henry H. Kim, Freydoon Shahidi+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 28被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、$\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_3$ における函手的積の存在を確立し、Langlands-Shahidi法と逆定理を用いて、$\mathrm{GL}_2$ 自形式における長年の予想である対称立方函手的性を証明する。主な結果は、Maass形式のヘッケ固有値に対する $5/34$ の新たな評価であり、これにより従来の $1/6$ の壁を破り、Ramanujan-Petersson予想およびSelberg予想の進展が得られる。

ABSTRACT

In this paper we prove two new cases of Langlands functoriality. The first is a functorial product for cusp forms on $GL_2 imes GL_3$ as automorphic forms on $GL_6$, from which we obtain our second case, the long awaited functorial symmetric cube map for cusp forms on $GL_2$. We prove these by applying a recent version of converse theorems of Cogdell and Piatetski-Shapiro to analytic properties of certain $L$-functions obtained from the method of Eisenstein series (Langlands-Shahidi method). As a consequence, we prove the bound 5/34 for Hecke eigenvalues of Maass forms over any number field and at every place, finite or infinite, breaking the crucial bound 1/6 (see below and Section 7 and 8) towards Ramanujan-Petersson and Selberg conjectures for $GL_2$. Many other applications are obtained.

研究の動機と目的

• 自動形式としての $\mathrm{GL}_6$ 上の $\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_3$ の自動表現の函手的積の存在を確立すること。
• $\mathrm{GL}_2$ モジュラー形式における対称立方函手的性の存在を証明すること。これはLanglandsプログラムにおける長年の未解決問題である。
• 任意の数体上でのMaass形式のヘッケ固有値に対する既知の評価を改善し、Ramanujan-Petersson予想への道筋で $1/6$ の壁を破ること。
• Eisenstein級数に付随する $L$-関数の解析的性質を導くために、Langlands-Shahidi法と逆定理を適用すること。

提案手法

• Langlands-Shahidi法を用いて、$\mathrm{GL}_6$ 上のEisenstein級数に付随する $L$-関数を研究し、正則的関数性の延長や関数等式などの解析的性質を抽出する。
• CogdellとPiatetski-Shapiroによる最近の逆定理のバージョンを適用し、$L$-関数の解析的挙動からテンソル積表現 $\pi_1 \times \pi_2$ の自動性を導出する。
• 局所Langlands対応を用いて、グローバルな函手的積の局所成分 $\pi_{1v} \times \pi_{2v}$ を $\mathrm{GL}_6(F_v)$ 上の既約適切表現として定義する。
• isobaric自動形式の分類を用いて、$\mathrm{GL}_6$ 上の自動形式としての $\mathrm{Sym}^3(\pi)$ が自動的であることを導く。
• $\varepsilon$-因子と導手の理論を用いて、関連する表現の $L$-関数と $\varepsilon$-因子を比較し、二次拡大へのbase changeの下で等価性を確立する。
• 関係 $\mathrm{Sym}^3(\pi) = \mathrm{Ad}(\pi) \times \pi$ を用いて、対称立方問題を $\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_3$ の函手的積問題に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_3$ のcusp形式に対して、$\mathrm{GL}_6$ 上の自動形式としての函手的積が存在するか？
• RQ2 $\mathrm{GL}_2$ cusp形式の対称立方は自動的か？また、どのような条件下でcusp的か？
• RQ3 Maass形式のヘッケ固有値に対する評価を $1/6$ を超えて改善できるか？これはRamanujan-Petersson予想およびSelberg予想にどのような意味を持つのか？
• RQ4 対称立方函手的性の正確な像は何か？また、いつcusp的か？
• RQ5 逆定理は、$L$-関数からの解析的データを用いて、自動性をどのように確立できるか？

主な発見

• $\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_3$ のcusp形式に対する函手的積 $\pi_1 \times \pi_2$ は、$\mathrm{GL}_6$ 上で自動的であり、isobaricであり、ユニタリcusp形式からの非可約誘導である。
• $\mathrm{GL}_2$ cusp形式 $\pi$ の対称立方 $\mathrm{Sym}^3(\pi)$ は、$\mathrm{GL}_4$ 上で自動的であり、$\pi$ がdihedralまたはtetrahedral型でない限りcusp的である。
• 本稿は、任意の数体上、任意の場所（有限または無限）におけるMaass形式のヘッケ固有値の絶対値に対して、$5/34$ の新たな評価を確立する。
• この評価は、従来の $1/6$ の壁を破り、$\mathrm{GL}_2$ におけるRamanujan-Petersson予想への顕著な進展をもたらす。
• $F = \mathbb{Q}$ かつ $\pi$ が重さ $\geq 2$ の非dihedral正則モジュラー形式に付随する場合、対称立方はcusp的である。
• 証明は、Langlands-Shahidi法による $L$-関数の解析的性質と、$\varepsilon$-因子および導手の挙動から自動性を導く逆定理の適用に依拠している。