[論文レビュー] Functors of wrapped Fukaya categories from Lagrangian correspondences

Yuan Gao|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、分割型および2次型ハミルトニアンを用いて、積リーマン多様体のラップドフクヤカテゴリのチェーンレベル同値性を確立し、クィルティドフローアホモロジー理論の枠組みを提供する。ラグランジュ対応から、埋め込まれたラップドフクヤカテゴリを介して $A_\infty$-ファンクターを構成し、バイトォの制限ファンクターが埋め込みの完成グラフに関連するファンクターと同型であることを証明するとともに、積多様体のラップドフクヤカテゴリに対する一般化された Künneth 公式を提示する。

ABSTRACT

We study wrapped Floer theory on product Liouville manifolds and prove that the wrapped Fukaya categories defined with respect to two different kinds of natural Hamiltonians and almost complex structures are equivalent. The implication is we can do quilted version of wrapped Floer theory, based on which we then construct functors between wrapped Fukaya categories of Liouville manifolds from certain classes of Lagrangian correspondences, by enlarging the wrapped Fukaya categories appropriately, allowing exact cylindrical Lagrangian immersions. For applications, we present a general Künneth formula, and also identify the Viterbo restriction functor with the functor associated to the completed graph of embedding of a Liouville sub-domain.

研究の動機と目的

• 積リーマン多様体上でのラップドフクヤカテゴリを、チェーンレベルで分割型ハミルトニアンと2次型ハミルトニアンの両方で定義する際の技術的曖昧さを解消すること。
• 特にシリンダ型または積型の対応に対して、ラグランジュ対応からラップドフクヤカテゴリ間の $A_\infty$-ファンクターを構成すること。
• 非可縮みの正確なシリンダ型ラグランジュ埋め込みとバウンディングコチェーンを含むように、ラップドフクヤカテゴリを未定義な正確なシリンダ型ラグランジュ埋め込みへ拡張し、埋め込み対象に対するファンクター性を可能にすること。
• バイトォの制限ファンクターが、リーマン部分多様体埋め込みの完成グラフに関連するファンクターと同一視されることを示すこと。
• 積多様体のラップドフクヤカテゴリに対する一般化された Künneth 公式を確立すること。

提案手法

• 作用フィルトレーションを用いて、分割型と標準型のラップドフクヤカテゴリ間の作用制限 $A_\infty$-ファンクター $R: \mathcal{W}^s(\mathbb{L}) \to \mathcal{W}(\mathbb{L})$ を構成する。
• クィルティドラップドフローコホモロジーを用いて、$\mathcal{W}(M^{-} \times N)$ から $(\mathcal{W}(M), \mathcal{W}(N))$-バイモジュールの圏への $A_\infty$-ファンクターを定義する。
• 非可縮みの適切な正確なシリンダ型ラグランジュ埋め込みとバウンディングコチェーンを対象として許容する、埋め込みラップドフクヤカテゴリ $\mathcal{W}_{\text{im}}(M)$ を導入する。
• 第二因子へのヤオダ埋め込みを適用して、ラグランジュ対応 $\mathcal{L} \subset M^{-} \times N$ に関連する $A_\infty$-ファンクター $\Phi_{\mathcal{L}}: \mathcal{W}(M) \to \mathcal{W}_{\text{im}}(N)^{\text{l-mod}}$ を得る。
• 直接極限による継続写像 $S_A$ とエネルギーに基づくフィルトレーションを用いて、コチェーン写像 $\Pi_\Gamma$ が継続写像 $r^1$ とチェーンホモトープであることを示し、ファンクターの準同値性を証明する。
• 幾何的条件（仮定 7.10）とバウンディングコチェーンの存在に依存して、埋め込みカテゴリにおける $A_\infty$-ファンクター構造を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $M \times N$ 上で分割型ハミルトニアンを用いて定義されたラップドフクヤカテゴリは、2次型ハミルトニアンを用いて定義された標準ラップドフクヤカテゴリと準同値か？
• RQ2 クィルティドフローコホモロジーを用いて、ラグランジュ対応からラップドフクヤカテゴリ間の $A_\infty$-ファンクターを構成できるか？
• RQ3 バイトォの制限ファンクターは、リーマン部分多様体埋め込みの完成グラフに関連するファンクターとどのように同一視できるか？
• RQ4 ラグランジュ対応 $\mathcal{L} \subset M^{-} \times N$ に関連するファンクター $\Phi_{\mathcal{L}}$ が、埋め込みラップドフクヤカテゴリへどのように拡張できるか？
• RQ5 バイトォの制限ファンクターは、部分多様体に完全に含まれないラグランジュ部分多様体へ拡張可能か？その場合、ファンクター $\Theta_\Gamma$ とどのように関係するか？

主な発見

• 分割型モデル $\mathcal{W}^s(M \times N)$ は、標準ラップドフクヤカテゴリ $\mathcal{W}(M \times N)$ と準同値であり、作用制限ファンクター $R$ が自然な準同値を与える。
• 仮定 7.10 の下で、ラグランジュ対応 $\mathcal{L} \subset M^{-} \times N$ から得られる $A_\infty$-ファンクター $\Phi_{\mathcal{L}}: \mathcal{W}(M) \to \mathcal{W}_{\text{im}}(N)^{\text{l-mod}}$ が構成され、値はクィルティドラップドフローコホモロジー複体 $CW^*(L, \mathcal{L}, L')$ にとどまる。
• 射影 $\mathcal{L} \to N$ が正則で、幾何的仮定が成立する限り、バイトォの制限ファンクターは、埋め込みの完成グラフに関連するファンクターと同一視される。
• 一般化された Künneth 公式が確立され、$\mathcal{W}(M \times N)$ が $\mathcal{W}(M)$ と $\mathcal{W}(N)$ の $A_\infty$-テンソル積と準同値であることが示された。
• 直接極限による写像 $S_A$ とエネルギーに基づくフィルトレーションを用いて、コチェーン写像 $\Pi_\Gamma$ が継続写像 $r^1$ とチェーンホモトープであることが示され、ファンクター $\Theta_\Gamma$ と $r$ のチェーンレベルでの準同値性が証明された。
• バウンディングコチェーン $B$ を通じて $\mathcal{W}(U)$ の変形 $\mathcal{W}(U; B)$ へ、バイトォの制限ファンクターが拡張可能であるという予想を提示し、元のファンクター $\mathcal{B}(M)$ 上で一致する自然な $A_\infty$-ファンクター $r_B: \mathcal{W}(M) \to \mathcal{W}(U; B)$ を得た。