[论文解读] Fundamental Limits of Blind Deconvolution Part II: Sparsity-Ambiguity Trade-offs

Sunav Choudhary, Urbashi Mitra|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 25被引用 9

一句话总结

本文表明，标准稀疏性——常用于正则化盲反卷积——不足以确保信号可辨识性，原因在于信号空间中固有的旋转模糊性。通过将盲反卷积建模为低秩矩阵恢复问题，并分析卷积算子的秩二零空间，作者推导出尺度律，表明仅靠稀疏性无法消除不可辨识的信号集合，尤其是在重复或几何衰减等现实编码约束下。

ABSTRACT

Blind deconvolution is an ubiquitous non-linear inverse problem in applications like wireless communications and image processing. This problem is generally ill-posed since signal identifiability is a key concern, and there have been efforts to use sparse models for regularizing blind deconvolution to promote signal identifiability. Part I of this two-part paper establishes a measure theoretically tight characterization of the ambiguity space for blind deconvolution and unidentifiability of this inverse problem under unconstrained inputs. Part II of this paper analyzes the identifiability of the canonical-sparse blind deconvolution problem and establishes surprisingly strong negative results on the sparsity-ambiguity trade-off scaling laws. Specifically, the ill-posedness of canonical-sparse blind deconvolution is quantified by exemplifying the dimension of the unidentifiable signal sets. An important conclusion of the paper is that canonical sparsity occurring naturally in applications is insufficient and that coding is necessary for signal identifiability in blind deconvolution. The methods developed herein are applied to a second-hop channel estimation problem to show that a family of subspace coded signals (including repetition coding and geometrically decaying signals) are unidentifiable under blind deconvolution.

研究动机与目标

• 研究在标准基下的标准稀疏性是否足以保证盲反卷积中的可辨识性。
• 量化在稀疏性约束下不可辨识信号集合的维度，揭示其固有的不适定性。
• 分析子空间编码信号（如重复编码和几何衰减信号）在第二跳信道估计中的可辨识性。
• 为双线性逆问题中的线性卷积算子的秩二零空间提供测度论上紧致的刻画。
• 证明仅靠稀疏性无法克服盲反卷积中的根本性模糊性，因此必须显式设计编码以实现可辨识性。

提出的方法

• 通过提升技术将盲反卷积重新表述为低秩矩阵恢复问题，将非线性的双线性逆问题转化为线性问题。
• 分析提升后线性卷积算子的秩二零空间，以刻画不可辨识的信号对。
• 推导出零空间的部分参数化且递归结构化的刻画，以实现对不可辨识信号维度的量化。
• 将该框架应用于具有子空间编码输入（包括重复编码和几何衰减信号）的第二跳信道估计模型。
• 使用测度论上紧致的界，量化在稀疏性和编码约束下不可辨识信号集合的维度。
• 建立稀疏性水平与模糊空间维度之间的尺度律，表明其与压缩感知相比存在不利权衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 在通用条件下，标准基下的标准稀疏性是否能保证盲反卷积中的可辨识性？
• RQ2 当在盲反卷积的输入信号上施加稀疏性时，不可辨识信号集合的维度是多少？
• RQ3 常用的编码方案（如重复编码或几何衰减信号）是否足以确保盲反卷积中的可辨识性？
• RQ4 编码子空间的结构（如几何衰减）如何影响盲反卷积中的模糊空间？
• RQ5 能否以一种可精确量化不可辨识信号集合的方式刻画卷积算子的秩二零空间？

主要发现

• 由于影响稀疏向量的持续旋转模糊性，标准基下的标准稀疏性不足以保证盲反卷积中的可辨识性。
• 不可辨识信号集合的维度下界为 $ m + n - p_1 - p_2 $，其中 $ p_1 $ 和 $ p_2 $ 取决于稀疏信号的支持结构。
• 对于满足 $ |igwedge_2| = 1 $ 的几何衰减信号，不可辨识集合的维度至少为 $ m + n + 1 - p_1 - p_2 $，否则至少为 $ m + n - p_1 - p_2 $。
• 如重复编码和几何衰减信号等子空间编码信号在盲反卷积中仍不可辨识，即使在稀疏性约束下亦然。
• 标准稀疏盲反卷积中模糊空间的尺度律远不如压缩感知中有利，表明仅靠稀疏性存在根本性局限。
• 提出了一种测度论上紧致的、部分参数化且递归的卷积算子秩二零空间刻画，实现了对不可辨识信号集合的精确量化。