[論文レビュー] Fundamentals of Nano-Thermodynamics

Michael J. Hartmann, G. Mahler+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2004

Thermal properties of materials参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子系における温度が小スケールで意味を持つことができるかを検討することで、ナノスケールにおける熱力学の基本的限界を調査している。調査では、調和的およびイジングスピン模型から成る量子鎖を用い、局所的熱平衡に達するための最小群サイズ $ n_{\text{min}} $ を導出し、温度が存在するのは、熱的相関を維持できる十分に大きな部分系である場合に限ることを示している。主な結果として、定量的な推定が得られ、調和的鎖ではデイビー温度より上では最小長尺度が一定であり、それより下では $ T^{-3} $ のスケーリングを示す。これは、低温では熱化に必要な空間スケールが著しく大きくなることを示唆している。

ABSTRACT

Recent progress in the synthesis and processing of nano-structured materials and systems calls for an improved understanding of thermal properties on small length scales. In this context, the question whether thermodynamics and, in particular, the concept of temperature can apply on the nanoscale is of central interest. Here we consider a quantum system consisting of a regular chain of elementary subsystems with nearest neighbour interactions and assume that the total system is in a canonical state with temperature $T$. We analyse, under what condition the state factors into a product of canonical density matrices with respect to groups of $n$ subsystems each, and when these groups have the same temperature $T$. In quantum systems the minimal group size $n_{ extrm{min}}$ depends on the temperature $T$, contrary to the classical case. As examples, we apply our analysis to a harmonic chain and different types of Ising spin chains. For the harmonic chain, which successfully describes thermal properties of insulating solids, our approach gives a first quantitative estimate of the minimal length scale on which temperature can exist: This length scale is found to be constant for temperatures above the Debye temperature and proportional to $T^{-3}$ below. We finally apply the harmonic chain model to various materials of relevance for technical applications and discuss the results. These show that, indeed, high temperatures can exist quite locally, while low temperatures exist on larger scales only. This has striking consequences: In quasi 1-dimensional systems, like Carbon-Nanotubes, room temperatures (300 Kelvin) exist on length scales of 1 $μ$m, while very low temperatures (10 Kelvin) can only exist on scales larger than 1 mm.

研究の動機と目的

• 量子系において温度が意味的に存在できる最小長尺度を特定すること。
• 量子系が温度 $ T $ を持つ局所的熱状態として記述可能となる条件を調査すること。
• 特に温度に依存する量子系において、局所的熱平衡に達するための最小グループサイズ $ n_{\text{min}} $ を定量化すること。
• 実材料（シリコン、炭素、ガリウム）にこのフレームワークを適用し、導出された長尺度の物理的関連性を評価すること。

提案手法

• 一次元の量子部分系の鎖を仮定し、最近接相互作用を持つものとし、全系が温度 $ T $ の正準状態にあると仮定する。
• 全系の密度行列が、各々温度 $ T $ にある $ n $ 個の部分系の正準密度行列の積に分解できる条件を導出する。
• 調和的鎖およびさまざまなイジングスピン鎖（異方的、等方的、横磁場を含む）にこの手法を適用し、ハミルトニアンを対角化するためにフーリエ変換およびボゴリューボフ変換を用いる。
• 対角化されたハミルトニアンを用いてエネルギー準位および相関関数を計算し、局所的熱状態がどのように現れるかを特定する。
• 相関関数が無視できるほど小さくなること、および各グループの縮約密度行列が正準状態に近いことを満たすように、最小グループサイズ $ n_{\text{min}} $ を推定する。
• 実材料への適用のために、デイビー温度やフォノン周波数などのパラメータを推定し、温度が存在できる最小長尺度を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子系において、ナノスケールの長尺度で温度を意味的に定義できるか？
• RQ2 局所的熱状態が温度 $ T $ にあるグループとして記述できる最小部分系数 $ n_{\text{min}} $ は何か？
• RQ3 量子系において $ n_{\text{min}} $ は温度にどのように依存するか。特に古典系と比較してどう異なるか？
• RQ4 シリコン、炭素、ガリウムなどの実材料において、温度が存在できる最小長尺度は何か？
• RQ5 特に一次元に近い系（カーボンナノチューブなど）において、高温と低温の結果にどのような違いが生じるか？

主な発見

• 調和的鎖では、デイビー温度より上では温度が存在できる最小長尺度が一定である。
• デイビー温度より下では、最小長尺度は $ T^{-3} $ のスケーリングを示し、低温では熱化に必要な空間スケールが著しく大きくなることを示唆している。
• カーボンナノチューブでは、室温（300 K）では約1 μmのスケールで温度が存在可能であるが、10 Kでは1 mmより大きなスケールでのみ温度が存在可能である。
• 量子系では最小グループサイズ $ n_{\text{min}} $ が温度に依存するが、古典系では温度に依存しない。
• モデルは、高温ではナノスケールに局在化した温度が可能であるが、低温では熱的平衡が確立されるにはミクロスケールまたはそれ以上の領域が必要であると予測している。
• シリコン、炭素、ガリウムの推定結果から、室温では最小長尺度がマイクロメーターオーダーであり、低温では著しく増大することが示された。