[論文レビュー] Further results on differentially 4-uniform permutations over $\F_{2^{2m}}$

Zhengbang Zha, Lei Hu+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 上の逆関数を、適切に選んだ部分集合 $S$ で変更することにより、微分的4均一な置換の新規構成を提示する。提案された置換は、高い非線形性と代数的次数を達成しており、明示的な構成が既知の関数とCCZ同値でないことが示されており、暗号的Sボックス設計のための改善された選択肢を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we present several new constructions of differentially 4-uniform permutations over $\F_{2^{2m}}$ by modifying the values of the inverse function on some subsets of $\F_{2^{2m}}$. The resulted differentially 4-uniform permutations have high nonlinearities and algebraic degrees, which provide more choices for the design of cryptographic substitution boxes.

研究の動機と目的

• 新しい微分的4均一置換を $\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 上に構成し、優れた暗号的性質を有すること。
• 特定の部分集合 $S \subset \mathbb{F}_{2^{2m}}$ で逆関数を変更することにより、既存の構成を改善すること。
• 理論的限界に近い高い非線形性と代数的次数を達成すること。
• 逆関数や既存の構成とCCZ同値でないことを示すこと。
• Sボックス設計に適した望ましい暗号的特性を有する置換を体系的に生成する方法を提供すること。

提案手法

• 部分集合 $S \subset \mathbb{F}_{2^{2m}}$ で逆関数 $x^{-1}$ の値を変更することで、新しい置換を構成する。
• トレース条件 $\mathrm{Tr}(x) = 1$ や $\mathrm{Tr}(x) = \mathrm{Tr}(x/(1+x)) = 1$ によって定義される部分集合 $S$ を用いる。
• 関数 $f(x) = x^{-1} + \delta_S(x)$ を用いて置換を構成する。ここで $\delta_S(x)$ は $S$ 上で非ゼロとなる補正関数である。
• 微分均一性が4のまま保たれるように、$f(x+a) + f(x) = b$ の解の数を制御する。
• 有限体のスイッチング法と代数的性質を活用し、高い非線形性と代数的次数を維持する。
• $n=12$ の場合にMagmaによる計算を用いて微分スペクトルと非線形性解析を行い、CCZ同値性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の $\mathbb{F}_{2^{2m}}$ の部分集合で逆関数を変更することにより、新しい微分的4均一置換を構成できるか？
• RQ2 これらの構成は、既存のものよりも高い非線形性と代数的次数を有する置換を生み出すか？
• RQ3 新しい置換は、逆関数や既存の構成とCCZ同値でないか？
• RQ4 修正集合 $S$ のサイズと構造は、非線形性と微分スペクトルにどのように影響するか？
• RQ5 提案された手法は、実用的なSボックス設計に適した、多数のCCZ同値でない置換を生成できるか？

主な発見

• 定理3～7では、$\mathbb{F}_{2^{10}}$ と $\mathbb{F}_{2^{12}}$ 上に、非線形性がそれぞれ1980および1978に達する新しい微分的4均一置換が提示されている。
• $n=12$ の場合、定理5に含まれる関数の平均非線形性は1910.264であり、定理2の1911.106よりわずかに低い。これは $|S|$ が大きい場合のトレードオフを示している。
• 定理5における $S = S_1 \cup (\mathbb{F}_{16} \setminus \mathbb{F}_4)$ の構成では、$S_1$ として1036通りの集合が可能であり、$S$ としては $2^{518}$ 通りの集合が得られ、多数の異なる置換を生成可能である。
• 例1では、$|S_1|=42$ の同じ条件下で、定理2の1956よりわずかに高い非線形性1958を有する関数が示されている。
• 例3では、定理2より $|S|$ が大きいにもかかわらず、非線形性が1978（定理2の1980よりわずかに低い）であるが、非単調な挙動が確認されている。
• 新しい置換の微分スペクトル、たとえば $n=10$ の場合の $\{0^{8534127}, 2^{8091426}, 4^{147567}\}$ は、微分均一性4を確認し、既知の関数とは区別可能である。