[論文レビュー] Further results on Liouville type theorems for some conformally invariant fully nonlinear equations

Aobing Li, Yanyan Li|ArXiv.org|Jan 22, 2003

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ 上の共形不変な完全非線形方程式に対して、Liouville型定理を確立し、正の上調和解が定数解または径数フォウラー解であることを証明する。証明には、動く球面法、洗練された最大原理の応用、および共形不変性が用いられ、指数 $p \leq \frac{n+2}{n-2}$ の全範囲にわたって先行研究を拡張し、$p = \frac{n+2}{n-2}$ では解の鋭い分類がなされ、$p < \frac{n+2}{n-2}$ では非存在性が示される。

ABSTRACT

We present some further results on Liouville type theorems for some conformally invariant fully nonlinear equations.

研究の動機と目的

• モビウス変換に関して不変な完全非線形楕円型方程式に対する鋭いLiouville型定理を確立すること。
• $\mathbb{R}^n$ 上で $F(A^u) = u^{p - \frac{n+2}{n-2}}$ を満たすすべての正の $C^2$ 上調和解を、$p \leq \frac{n+2}{n-2}$ の範囲で分類すること。
• ギダス–スプリュック、オバタらの先行研究を統合・拡張し、$p = \frac{n+2}{n-2}$ の場合と $p < \frac{n+2}{n-2}$ の新規ケースを含むこと。
• 非定数解が存在するのは $p = \frac{n+2}{n-2}$ のみであり、それらは正確にフォウラー解であることを証明すること。
• $p < \frac{n+2}{n-2}$ の場合、非定数の正の上調和解が存在しないことを、洗練された最大原理の技法を用いて示すこと。

提案手法

• 方程式の共形不変性を用いて、$\mathbb{R}^n$ の点を中心とする球面反射による解の挙動を解析する動く球面法を用いる。
• 孤立特異点付近での解の挙動を制御するため、最大原理の洗練されたバージョン（補題1）を適用する。
• 変換 $u_{x,\lambda}(y) = \left(\frac{\lambda}{|y-x|}\right)^{n-2} u\left(x + \frac{\lambda^2(y-x)}{|y-x|^2}\right)$ を用いて解を反射し、元の解と比較する。
• $\alpha = \liminf_{|x|\to\infty} |x|^{n-2}u(x)$ を用いて、$u$ の無限遠における漸近的挙動を分析し、$\alpha = \infty$ と $0 < \alpha < \infty$ の場合に分ける。
• 差 $u - u_{x,\lambda}$ に強い最大原理およびホフプ法を適用し、動く球面手続きが、$u$ が定数解または径数解でない限り停止しないことを示す。
• 変換 $w^{(x)} = (u_{\phi^{(x)}})_{\psi}$ を用いて、問題を原点に正則点を持つ新たな関数に写像し、局所的推定の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの指数 $p \leq \frac{n+2}{n-2}$ に対して、$\mathbb{R}^n$ 上で $F(A^u) = u^{p - \frac{n+2}{n-2}}$ を満たす正の上調和解が存在するか？
• RQ2 このようなすべての解が、定数解またはフォウラー型 $u(x) = \left(\frac{a}{1 + b^2|x - \bar{x}|^2}\right)^{\frac{n-2}{2}}$ であるか？
• RQ3 もし $p < \frac{n+2}{n-2}$ ならばどうなるか？共形不変性の欠如が分類を可能にしないか？
• RQ4 共形不変でないが、反射に関して有益な不等式を満たす方程式に対し、動く球面法をどのように適合させられるか？
• RQ5 $F$ と $U$ にどのような条件下で、唯一の非定数解が $p = \frac{n+2}{n-2}$ のときのみ出現するか？

主な発見

• $p = \frac{n+2}{n-2}$ の場合、すべての正の上調和解は、定数解または径数フォウラー解 $u(x) = \left(\frac{a}{1 + b^2|x - \bar{x}|^2}\right)^{\frac{n-2}{2}}$ である。ただし $2b^2a^{-2}I \in U$ かつ $F(2b^2a^{-2}I) = 1$ を満たすものとする。
• $p < \frac{n+2}{n-2}$ の場合、非定数の正の上調和解は存在せず、唯一の解は定数解である。
• $\alpha = \infty$ の場合、動く球面法を無限に続けることができ、$u$ が定数でなければならないという結論に至る。
• 極限 $\alpha = \liminf_{|x|\to\infty} |x|^{n-2}u(x)$ は有限であり、すべての $x \in \mathbb{R}^n$ に対して $\bar{\lambda}(x)^{n-2}u(x)$ に等しい。これが分類の鍵となる。
• 関数 $w^{(x)}(0) = \alpha$ がすべての $x$ に対して成り立つことから、解が何らかの点 $\bar{x}$ を中心として径対称でなければならないことが示され、フォウラー型が得られる。
• 証明は、フォウラー解では $F(A^u)$ が定数であるが、$p < \frac{n+2}{n-2}$ のとき $u^{p - \frac{n+2}{n-2}}$ は定数でないため、$u$ が定数でなければ矛盾が生じることに依拠している。