[논문 리뷰] G-Lévy Processes under Sublinear Expectations

Mingshang Hu, Shigē Péng|ArXiv.org|2009. 11. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 분포 불확실성을 수용할 수 있도록 고전적 레비 과정을 일반화한 G-레비 과정을 비선형 기대의 프레임워크 내에서 제안한다. G-레비-힌친 공식을 유도하고, 비선형 적분-미분방정식의 점성해를 통한 G-레비 과정의 존재성을 증명하며, G-포아송 과정을 핵심 예시로 제시함으로써 모델 모호성 하에서 직접적인 구성 방법을 제공한다.

ABSTRACT

We introduce G-Lévy processes which develop the theory of processes with independent and stationary increments under the framework of sublinear expectations. We then obtain the Lévy-Khintchine formula and the existence for G-Lévy processes. We also introduce G-Poisson processes.

연구 동기 및 목표

• 비선형 기대 공간에서 독립적이고 정적 증분을 갖는 레비 과정 이론을 개발하여 고전적 확률과정을 분포 불확실성을 모델링할 수 있도록 확장한다.
• 비선형 적분-미분방정식을 통해 이러한 과정의 분포를 특성화함으로써 고전적 레비-힌친 공식을 일반화한다.
• 비선형 포물형 적분-미분방정식의 해로서 G-레비 과정의 존재성을 확립한다.
• 모델 불확실성 하에서 G-레비 과정의 특수한 경우인 G-포아송 과정을 도입하고 분석한다.
• 기존 접근 방식에 비해 더 직접적이고 단순한 구성 방법을 제공함으로써 G-레비 과정을 구성한다. 점성해 이론을 활용한다.

제안 방법

• 논문은 비선형 기대 공간에서 독립적이고 정적 증분을 갖는 확률과정으로서 G-레비 과정을 정의하며, G-브라운 운동을 일반화한다.
• 과정의 생성자를 비선형 레비 측도를 포함하는 비선형 적분-미분 연산자로 특성화함으로써 G-레비-힌친 공식을 유도한다.
• 비선형 포물형 적분-미분방정식의 점성해를 구성함으로써 G-레비 과정의 존재성을 증명한다. 생성자는 비선형 함수 G로 정의된다.
• 이 방법은 페론의 방법과 근사 기법에 기반하여 $C_{b.Lip}(Ω)$ 내의 초기 자료에 대해 존재성을 확립한다.
• 완전 비선형 PDE의 점성해 이론을 사용하며, 생성자 G에 대한 핵심 가정은 하향성과 볼록성 보장한다.
• 생성자 변화에 대한 편미분 방정식의 점성해에 대한 비교 원리와 안정성 결과를 통해 구성 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 레비 과정을 비선형 기대 공간으로 일반화하여 분포 불확실성을 모델링할 수 있는가?
• RQ2 비선형 기대 하에서 고전적 레비-힌친 공식의 비선형 대응은 무엇인가?
• RQ3 G-레비 과정은 비선형 PDE로부터 직접 구성될 수 있으며, 그러한 구성에 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ4 모델 모호성 하에서 G-포아송 과정은 G-레비 과정의 특수한 경우로 어떻게 도출되는가?
• RQ5 해의 연산자에 대해 하향성과 볼록성 등의 성질이 성립하는가?

주요 결과

• G-레비-힌친 공식이 도출되었으며, 비선형 적분-미분방정식과 하향성 생성자 G를 갖는 비선형 PDE를 통해 G-레비 과정의 분포를 특성화한다.
• 비선형 포물형 적분-미분방정식의 점성해를 통한 G-레비 과정의 존재성이 입증되었으며, $C_{b.Lip}(Ω)$ 내의 모든 초기 자료에 대해 해가 존재한다.
• G-포아송 과정이 비선형 포아송형 생성자를 통해 G-레비 과정의 구체적 사례로 명시적으로 도입되었다.
• 비선형 PDE의 해 연산자는 하향성과 볼록성을 만족하여 모델 불확실성 하에서도 강인함을 보장한다.
• 점성해 이론을 활용함으로써 고전적 접근에 비해 더 직접적이고 단순한 G-레비 과정의 구성 방법을 제공한다.
• 선형 기대를 하향성 기대로 대체함으로써 고전적 레비 과정 이론을 일반화하였으며, 변동성과 분포 불확실성을 모델링할 수 있도록 한다.