[論文レビュー] Gagliardo-Nirenberg inequalities in Lorentz type spaces and energy equality for the Navier-Stokes system

Yanqing Wang, Wei Wei+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ベルンシュタイン不等式、ローレンツ空間埋め込み、リトルウッド＝パイルの分解を用いて、第二指数に制限のないローレンツ型空間における一般化されたガリャルディ・ニレングラッハ不等式を確立する。この不等式を応用して、3次元ナビエ＝ストークス方程式のエネルギー保存の新規基準を示し、速度およびその勾配を広い指数範囲のローレンツ空間に属させるように、シンブロットの条件を改善する。

ABSTRACT

In this paper, we derive some new Gagliardo-Nirenberg type inequalities in Lorentz type spaces without restrictions on the second index of Lorentz norms, which generalize almost all known corresponding results. Our proof mainly relies on the Bernstein inequalities in Lorentz spaces, the embedding relation among various Lorentz type spaces, and Littlewood-Paley decomposition techniques. In addition, we establish several novel criteria in terms of the velocity or the gradient of the velocity in Lorentz spaces for energy conservation of the 3D Navier-Stokes equations. Particularly, we improve the classical Shinbrot's condition for energy balance to allow both the space-time directions of the velocity to be in Lorentz spaces.

研究の動機と目的

• ローレンツ型空間におけるガリャルディ・ニレングラッハ不等式の最も一般化された形を導出すること。特に、ローレンツノルムの第二指数に対する従来の制限を除去すること。
• 分数階微分を含むローレンツ空間における臨界的および亜臨界的領域へのガリャルディ・ニレングラッハ不等式の適用範囲を拡張すること。
• 速度およびその勾配をローレンツ空間に属させる手法を用いて、3次元ナビエ＝ストークス方程式におけるエネルギー保存の新規十分条件を確立すること。
• シンブロットの古典的エネルギー保存条件を、速度の空間的および時間的両方向がローレンツ空間に属するようにすることで、より広い範囲に拡張して改善すること。
• 速度およびその微分のローレンツノルムに基づくエネルギー保存基準の統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 周波数局所化ノルムを制御するために、ローレンツ空間におけるベルンシュタイン不等式を用いる。
• さまざまなローレンツ型空間間の埋め込み関係を用いて、異なる関数空間ノルムを関連付ける。
• 関数を二重周波数帯域に分解して精密な推定を行うために、リトルウッド＝パイルの分解を適用する。
• 一般化されたローレンツ空間におけるガリャルディ・ニレングラッハ不等式を導出する：$\|\Lambda^{\sigma}u\|_{L^{p,1}} \leq C\|u\|_{L^{q,\infty}}^{\theta}\|\Lambda^{s}u\|_{L^{r,\infty}}^{1-\theta}$ で、$\frac{n}{p}-\sigma = \theta\frac{n}{q} + (1-\theta)(\frac{n}{r}-s)$ を満たす。
• 得られた不等式を応用して、3次元ナビエ＝ストークス系におけるエネルギー保存基準を、ローレンツ空間における補間およびホルダーの不等式を用いて導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二指数に制限がないローレンツ空間において、一般化されたガリャルディ・ニレングラッハ不等式を確立できるか？
• RQ2 このような不等式を用いて、3次元ナビエ＝ストークス方程式におけるエネルギー保存の新基準をどのように導出できるか？
• RQ3 速度およびその勾配をローレンツ空間に属させるようにすることで、シンブロットの古典的エネルギー保存条件はどの程度改善できるか？
• RQ4 リトルウッド＝パイルの分解およびベルンシュタイン不等式は、ローレンツ型関数空間における鋭い推定を導く際に果たす役割は何か？
• RQ5 古典的$L^2$基準を超えて、3次元ナビエ＝ストークス方程式のエネルギー等式が成立する関数空間の範囲はどのようなものか？

主な発見

• ローレンツ空間における新しい一般化されたガリャルディ・ニレングラッハ不等式が確立された：$\|\Lambda^{\sigma}u\|_{L^{p,1}} \leq C\|u\|_{L^{q,\infty}}^{\theta}\|\Lambda^{s}u\|_{L^{r,\infty}}^{1-\theta}$ で、$0 < \theta < 1 - \frac{\sigma}{s}$ かつ $s - \frac{n}{r} \neq \sigma - \frac{n}{p}$ を満たす。
• この不等式は、ハジャイエイ＝ユ＝ツァイ、マコーリック＝ロビンソン＝ロドリゴ、ダオ＝ディアス＝ヌエニェスらの先行研究における制限を除去し、一般化されたものである。
• 3次元ナビエ＝ストークス方程式のエネルギー保存が、$v \in L^\infty(0,T;L^2) \cap L^2(0,T;\dot{H}^1)$ および $\nabla v \in L^p(0,T;L^{q,\infty})$ で、$3/2 < q < 9/5$ かつ $1/s < p < 3$ の条件下で証明された。
• 本稿は、速度の空間的および時間的両方向がローレンツ空間に属するようにすることで、シンブロットの条件を拡張し、適用範囲を広げた。
• エネルギー等式は、ローレンツ空間における補間およびホルダーの不等式を用いて導出され、新規のガリャルディ・ニレングラッハ不等式が主要な道具として用いられた。
• 結果はベソフ＝ローレンツ空間へ拡張され、$\int_0^T \|\nabla v\|^{p_1}_{L^{q_1}} ds < \infty$ が、$p_1$, $q_1$, $s$ について適切な条件下でエネルギー保存を示すことを示した。