[論文レビュー] Galois Cohomology of Real Groups

Jeffrey Adams|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、再帰的簡約群のガロアコホモロジー $ H^1_\theta(\bbZ_2, G) $ とガロアコホモロジー $ H^1_\tau(\text{Gal}(\bbC/\bbR), G) $ の正規同型を確立し、カルタン自己同型の $ \theta $-コホモロジーを、実再帰的群の古典的ガロアコホモロジーと結びつける。主な貢献は、強い実形式と中心不変量を用いた $ H^1(\text{Gal}(\bbC/\bbR), G) $ の計算を簡略化する統一的枠組みを提供することであり、古典的および例外的群について明示的な計算が行われる。

ABSTRACT

Real forms of a complex reductive group are classified in terms of Galois cohomology $H^1(Γ,G_{ad})$ where $G_{ad}$ is the adjoint group. Alternatively, the theory of the Cartan involution gives a description in terms of cohomology with respect to a holomorphic involution: $H^1(\mathbb Z/2\mathbb Z,G_{ad})$ where the non trivial element acts by a holomorphic involution $θ$. The main theorem is that in general, if $θ$ is the Cartan involution of a real form $σ$, there is a canonical isomorphism $H^1(Γ,G)\simeq H^1(\mathbb Z/2\mathbb Z,G)$. This has applications to the structure and representation theory of real groups. We give two such applications. The first is a simple proof of Matsuki's result on conjugacy classes of tori in real groups. The second is a computation of $H^1(Γ,G)$ in general. The answer is expressed in terms of the notion of strong real forms. We include tables for all simply connected simple groups.

研究の動機と目的

• 再帰的群の実形式の2つの分類を統一すること：1つはガロアコホモロジー $ H^1_\tau(\text{Gal}(\bbC/\bbR), G) $ を通じるもの、もう1つはカルタン自己同型 $ \theta $ を通じるもの。
• ガロアコホモロジー $ H^1_\tau(\text{Gal}(\bbC/\bbR), G) $ と $ \theta $-twisted 群コホモロジー $ H^1_\theta(\bbZ_2, G) $ の正規同型を提供すること。
• すべての単純で simply connected かつ 際的再帰的群 $ G $ について、中心不変量と強い実形式を用いて $ H^1(\text{Gal}(\bbC/\bbR), G) $ を計算すること。
• 強い実形式を古典的ガロアコホモロジーの観点から解釈し、局所ラングランズ予想の明確な定式化を支援すること。

提案手法

• 再帰的群 $ G $ を $ \bbR $ 上にとったとき、$ \tau $ が $ G(\bbC) $ 上に複素共役作用をもたらすように、ガロアコホモロジー $ H^i_\tau(\text{Gal}(\bbC/\bbR), G) $ を定義する。
• カルタン自己同型 $ \theta $ を導入し、$ G $ のホロモーフィックな対合で、$ \tau $ と可換であり、$ G(\bbR)^\theta $ が最大コンパクト部分群となるようにする。
• $ \bbZ_2 $ が $ \theta $ を通じて $ G $ に作用する群コホモロジー $ H^i_\theta(\bbZ_2, G) $ を定義し、正規同型 $ H^1_\tau(\text{Gal}(\bbC/\bbR), G) \to H^1_\theta(\bbZ_2, G) $ を確立する。
• 強い実形式を分類するための中心不変量 $ \text{inv}(\sigma) \in Z^\Gamma / (1 + \sigma)Z $ を用い、$ H^1(\Gamma, G) $ が固定された中心不変量 $ z \in Z^\Gamma $ を持つ強い実形式と双対であることを示す。
• 同型を用いて、テーブルとソフトウェア（Lie 群のアトラス）を用いて、古典的および例外的群の $ |H^1(\Gamma, G)| $ を計算する。
• $ \bbR $ 上の Kneser の定理（$ G $ が simply connected ならば $ H^1(\Gamma, G) = 1 $）を用い、この同型を非自明な場合にまで拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガロアコホモロジー $ H^1_\tau(\text{Gal}(\bbC/\bbR), G) $ と $ \theta $-twisted 群コホモロジー $ H^1_\theta(\bbZ_2, G) $ の間に正規同型が存在するか？
• RQ2 中心不変量を用いたガロアコホモロジーによって、$ G $ の強い実形式をパラメトライズできるか？
• RQ3 すべての単純で、$ \bbR $ 上の simply connected 再帰的群について、$ H^1(\text{Gal}(\bbC/\bbR), G) $ のサイズは？
• RQ4 $ \theta $-コホモロジーの図式は、実形式の古典的 $ \sigma $-コホモロジー分類とどのように関係するか？

主な発見

• 正規同型 $ H^1_\tau(\text{Gal}(\bbC/\bbR), G) \simeq H^1_\theta(\bbZ_2, G) $ が存在し、実形式の2つのコホモロジー的分類を統一する。
• $ SL(n,\bbR) $、$ GL(n,\bbR) $、$ Sp(2n,\bbR) $ について、$ |H^1(\Gamma, G)| = 1 $ であり、内的同型を除いて一意な実形式が存在することを示す。
• $ SU(p,q) $ について、$ |H^1(\Gamma, G)| = \lfloor p/2 \rfloor + \lfloor q/2 \rfloor + 1 $ であり、ランク $ p+q $ のヘルミート形式と判別式 $ (-1)^q $ に対応する。
• $ SL(n,\bbH) $ について、$ |H^1(\Gamma, G)| = 2 $ であり、$ \mathbb{H}^* \to \mathbb{R}^* $ の縮約ノルム写像の像に対応する。
• $ SO(p,q) $ について、$ |H^1(\Gamma, G)| = \lfloor p/2 \rfloor + \lfloor q/2 \rfloor + 1 $ であり、ランク $ p+q $ の実対称双一次形式と判別式 $ (-1)^q $ をパラメトライズする。
• $ Spin(p,q) $ について、$ |H^1(\Gamma, G)| = \lfloor (p+q)/4 \rfloor + \delta(p,q) $ であり、$ \delta(p,q) $ は $ p,q \mod 4 $ に依存し、値は $ \{0,1,2,3\} $ のいずれかである。