[論文レビュー] Galois Weierstrass points whose Weierstrass semigroups are generated by two elements

Jiryo Komeda, Takeshi Takahashi|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2つの互いに素な整数 $a$ と $b$ によって生成されるWeierstrass半群を持つ代数曲線におけるGalois Weierstrass (GW) 項点を調査している。ここで $a \geq 3$、$b \geq a+2$、$
gcd(a,b)=1$ である。本稿では、このようなGW項点の数が0または1であることを示しており、$b \equiv a-1 \pmod{a}$ である場合には0または $b+1$ である可能性がある。この結果は、平面曲線の内側Galois点に関する古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

We investigate the number of Galois Weierstrass points whose Weierstrass semigroups are generated by two positive integers.

研究の動機と目的

• 平面曲線の内側Galois点に関する古典的結果を、2生成子を持つWeierstrass半群を持つ任意の曲線へ一般化すること。
• Weierstrass半群が2つの互いに素な整数 $a$ と $b$ によって生成されるGalois Weierstrass項点の最大数を特定すること。
• このような項点が存在する条件および同時に存在可能な数を同定すること。
• Galois Weierstrass項点の理論を、平面曲線の設定にとどまらず、一般の代数曲線へ拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、Weierstrass半群 $H(P)$ の最小の正の元が $a$ であるとき、写像 $\Phi_{|aP|}: C \to \mathbb{P}^1$ がGalois被覆であるような項点をGalois Weierstrass項点と定義する。
• $
  gcd(a,b)=1$ を満たす数値半群 $\langle a,b \rangle$ の構造を分析し、種数 $g = (a-1)(a+b-1)/2$ とギャップ列に注目する。
• リーマン・ロッホの定理とコhomologicalな技法を用い、$[lr/a]$ という床関数の和を含む不等式を導出し、線形系統の次元に対する上限を確立する。
• 完全線形系統 $|aP|$ を通じた曲線から $\mathbb{P}^1$ への写像の理論を応用し、分岐と双有理性を分析することで、このような項点の数を制約する。
• 特異点の解消と基底変換の議論を用い、特異な平面曲線上のGW項点とその滑らかなモデル上の項点との関係を結ぶ。
• 背理法を用いて主定理を証明し、GW項点が多すぎると仮定すると、Weierstrass半群の構造と種数の両面で矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線が、2生成子を持つWeierstrass半群 $\langle a,b \rangle$ を持つ複数のGalois Weierstrass項点をもつ条件は何か？
• RQ2 合同条件 $b \equiv a-1 \pmod{a}$ は、このようなGW項点の数にどのように影響を与えるか？
• RQ3 $
  gcd(a,b)=1$ かつ $b \geq a+2$ のもとで、GW項点の数が1を超えることは可能か？
• RQ4 与えられた2生成子半群 $\langle a,b \rangle$ に対して、Galois Weierstrass項点が存在できる最大数は何か？
• RQ5 写像 $\Phi_{|aP|}$ の分岐点のWeierstrass半群は、元の半群 $H(P)$ とどのように関係するか？

主な発見

• $a \geq 3$、$b \geq a+2$、$
  gcd(a,b)=1$ のもとで、$H(P) = \langle a,b \rangle$ を持つGalois Weierstrass項点の数は、0または1である。ただし $b \equiv a-1 \pmod{a}$ である場合には、0または $b+1$ である可能性がある。
• $b \equiv a-1 \pmod{a}$ の場合、最大で $b+1$ 個のこのようなGW項点が存在しうることを、例4.1（$a=3$、$b=5$）で示している。この場合、6個の項点が得られる。
• $b = 2a-1$ の場合、GW項点の数は1個以下であることが示され、一般の上限と整合的である。
• 半群 $\langle 3,5 \rangle$ は、種数4の曲線上に6個のGW項点を持つことが、例4.1で示されている。
• $\langle 3,7 \rangle$ の場合、曲線は7個の分岐点を持つが、その点々の半群が異なっているため、GW項点は1個しか存在しない。
• この結果は、平面曲線の内側Galois点に関する定理1.1を一般化しており、任意の2生成子Weierstrass半群を持つ曲線へ拡張している。