[論文レビュー] Gapped Phases with Non-Invertible Symmetries: (1+1)d

Lakshya Bhardwaj, Lea E. Bottini+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2023

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 19

ひとこと要約

本論文は、非可逆（融合カテゴリ）対称性を持つ(1+1)d ギapped相を分類するSymTFTベースの枠組みを提案し、秩序パラメータ、真空構造、対称性作用を詳述し、Rep(S3)と TY(ZN) のケースを明示的に扱う。

ABSTRACT

We propose a general framework to characterize gapped infra-red (IR) phases of theories with non-invertible (or categorical) symmetries. In this paper we focus on (1+1)d gapped phases with fusion category symmetries. The approach that we propose uses the Symmetry Topological Field Theory (SymTFT) as a key input: associated to a field theory in d spacetime dimensions, the SymTFT lives in one dimension higher and admits a gapped boundary, which realizes the categorical symmetries. It also admits a second, physical, boundary, which is generically not gapped. Upon interval compactification of the SymTFT by colliding the gapped and physical boundaries, we regain the original theory. In this paper, we realize gapped symmetric phases by choosing the physical boundary to be a gapped boundary condition as well. This set-up provides computational power to determine the number of vacua, the symmetry breaking pattern, and the action of the symmetry on the vacua. The SymTFT also manifestly encodes the order parameters for these gapped phases, thus providing a generalized, categorical Landau paradigm for (1+1)d gapped phases. We find that for non-invertible symmetries the order parameters involve multiplets containing both untwisted and twisted sector local operators, and hence can be interpreted as mixtures of conventional and string order parameters. We also observe that spontaneous breaking of non-invertible symmetries can lead to vacua that are physically distinguishable: unlike the standard symmetries described by groups, non-invertible symmetries can have different actions on different vacua of an irreducible gapped phase. This leads to the presence of relative Euler terms between physically distinct vacua. We also provide a mathematical description of symmetric gapped phases as 2-functors from delooping of fusion category characterizing the symmetry to Euler completion of 2-vector spaces.

研究の動機と目的

• Fusion category symmetries（非可逆）を持つ理論のギapped IR相の分類を動機付ける。
• 対称性とIRデータを符号化する二境界Symmetry TFT (SymTFT) フレームワークを提案する。
• SymTFT設定から真空、対称性作用、秩序パラメータを抽出する方法を説明する。
• (1+1)dにおけるRep(S3)とTambara-Yamagami TY(ZN) 対称性の明示的分類を提供する。

提案手法

• 融合カテゴリSに対応する(d+1)次元のSymTFT Z(S) を用いてIRデータを整理する。
• Z(S) のラグランジアン代数によって Irreducible topological boundary conditions を分類する。
• AS のラグランジアン代数で実現された対称性境界 Bsym_S と Aphys による物理境界 Bphys を固定して S対称のギapped相を得る。
• 一般化された荷（charges）と秩序パラメータを Z(S) の境界で終端する線として解釈し、物理境界 Aphys に終端することでカテゴリー的なLandauパラダイムを得る。
• vacua と対称性作用を、どの線が両境界に終端するか、IR演算子にどう作用するかによって説明する。
• 非可逆対称性の自然崩壊と、真空間の間の相対Euler項の出現を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SymTFT フレームワークを用いて、(1+1)d の結合カテゴリ対称性を持つギapped相をどのように分類できるか？
• RQ2 Sで対称的なギapped相を区別する一般化された荷と秩序パラメータは何か？
• RQ3 非可逆対称性の自発的対称性崩壊は物理的にどのように現れ、Euler項は真空をどう区別するのか？
• RQ4 Rep(S3) と TY(ZN) 対称性の(1+1)dにおける明示的な相構造は？
• RQ5 このフレームワークは可逆な群様対称の伝統的なSSBとSPT像とどう関連するのか？

主な発見

• SymTFTベースの体系的な手順で S対称の(1+1)d ギapped相を分類し、真空と対称性作用を含む。
• 一般化荷は秩序パラメータとして、非可逆対称性の下で局所的（untwisted）と線状の（twisted）演算子を混合する多重体である。
• 非可逆対称性の自発的崩壊は、異なる対称性作用と相対Euler項を持つ物理的に区別可能な真空を生み出し得る。
• Rep(S3) 対称性のギapped相の明示的分類、異なるSSBと distinct vacua セクターを含む。
• intrinsically non-invertible TY(ZN) 対称性の分類と秩序パラメータ構造、Ising型ケースとその真空を網羅。