[論文レビュー] GARCH-extended models: theoretical properties and applications

Giles-Arnaud Nzouankeu Nana, Ralf Korn+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、外生変数を組み込んだGARCH拡張型（GARCHX）モデルにおける定常性、混合性、モーメントの存在、および尤度推定量の漸近正規性の十分（かつ場合によっては必要）な条件を確立している。著者らは、外生変数の広範な変換のクラスを許容し、GJR-GARCH や EGARCH を含むほぼすべてのGARCH(1,1)変種について理論的性質を証明することで、先行研究を一般化している。

ABSTRACT

This paper is concerned with some properties of the generalized GARCH models, obtained by extending GARCH models with exogenous variables, the so-called GARCH extended (GARCHX) models. For these, we establish sufficient conditions for some properties such as stationarity, existence of moments, ergodicity, geometric ergodicity, consistence and asymptotic normality of likelihood estimators of the model parameters. For some of these properties we show that the conditions that we propose are also necessary. We further provide examples and applications to illustrate and highlight the importance of our findings.

研究の動機と目的

• 外生変数を有するGARCH拡張型モデルにおける、定常性、混合性、幾何的混合性、モーメントの存在といった主要な確率的性質の厳密な理論的条件を確立すること。
• 外生変数の一般変換を許容することで、GARCHX(1,1)モデルにおける準最大尤度推定量（QMLE）の先行の漸近理論を一般化すること。特に、二乗形の変換に限定しない。
• 標準的なGARCHX変種を網羅する統一フレームワーク内で、尤度推定量の一致性および漸近正規性の必要十分条件を提供すること。
• 具体的な例と実際の金融データへの応用を通じて、これらの理論的発見の実用的関連性を示すこと。

提案手法

• 著者らは、条件付き分散が外生変数の変換、ノイズ過程、およびパワーデルタを有するGARCH型ダイナミクスによって駆動される一般化されたGARCHX(1,1)モデルを定義する。
• リャプノフ型の条件とモーメント母関数を用いて、定常性、混合性、幾何的混合性の十分条件を導出する。
• 尤度推定量の理論的分析には、マルティングール差分過程とスコア関数およびヘッセ行列関数の一様収束性を用いる。
• 観測スコア関数の漸近正規性を確立するために、定常マルティングール差分の不変性原理とスルツキーの補題を用いる。
• 主要な技術的ツールには、混合過程における弱大数法則とコンパクトなパrameter近傍における一様収束性が含まれる。
• 理論的結果は、標準的GARCH、GJR-GARCH、EGARCHを含むよく知られたモデルを包含する具体的な例を通じて検証されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外生変数の一般変換を伴うGARCHX(1,1)モデルが、厳密に定常的かつ混合的であるための条件は何か？
• RQ2 外生変数を有するGARCHX(1,1)モデルにおけるモーメントの存在の必要十分条件は何か？
• RQ3 GARCHX(1,1)モデルの準最大尤度推定量（QMLE）が一貫的かつ漸近的に正規的であるための正則性条件は何か？
• RQ4 GARCHXモデルの理論的性質は、外生変数変換の関数的形 u(x) にどのように依存するか？
• RQ5 u(x) = 1 + λx² のような特定の形をとるGARCHXモデルにおけるQMLEの先行研究の結果は、どの程度一般化可能か？

主な発見

• 定常性および混合性の十分条件が導出され、一部の条件は必要十分であることが示された。
• 関数 g, c, u にやや厳しいモーメントおよび成長条件が課されれば、モデルは幾何的混合性を達成し、強い混合性と混合的挙動を保証する。
• 正則性条件（四次モーメントの有限性および一様可積分性を含む）のもとで、準最大尤度推定量（QMLE）の一貫性および漸近正規性が証明された。
• マルティングール差分の不変性原理とスルツキーの補題を用いて、スコア関数の漸近正規性が確立され、限界分散は (κ−1)/δ² 倍のフィッシャー情報行列に比例する。
• 対数尤度のヘッセ行列は、確率的に一様に期待値に収束し、推定量の漸近正規性を保証する。
• 理論的フレームワークは、ハーンとクリスティンセン（2012）およびハーンとパク（2012）の先行結果を一般化し、外生変数の任意の変換を許容する広範なGARCHXモデルに拡張した。