[論文レビュー] "Gauge" in General Relativity: Second-order general relativistic gauge-invariant perturbation theory

K. Nakamura|ArXiv.org|Nov 7, 2007

Relativity and Gravitational Theory参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論における2次のゲージ不変な摂動理論を、座標（第一種）ゲージと点同定（第二種）ゲージの明確な区別を用いて厳密に構築する。Lie微分を用いて、計量および物質場の1次および2次において明示的なゲージ不変変数を導出し、宇宙論的および天体物理学的計算において物理的でないゲージの歪みを排除した一貫性のある非線形摂動計算を可能にする。

ABSTRACT

As in the case of the other gauge field theories, there is so called ``gauge'' also in general relativity. This ``gauge'' is unphysical degree of freedom. There are two kinds of ``gauges'' in general relativity. These are called the first- and the second-kind of gauges, respectively. The gauge of the first kind is just coordinate system on a single manifold. On the other hand, the gauge of the second kind arises in the general relativistic perturbations. Through the precise distinction of these two concepts of ``gauges'', we develop second-order gauge-invariant general relativistic perturbation theory.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における2種類のゲージ自由度、すなわち座標（第一種）ゲージと点同定（第二種）ゲージの概念的区別を明確化すること。
• 背景時空と物理的時空の2つの異なる時空多様体を関係付ける第二種ゲージを、写像として扱うことで、高次摂動理論における曖昧さを解消すること。
• 2次摂動理論におけるゲージ不変変数を体系的に構築するためのフレームワークを構築すること。
• ゲージ依存の歪みを排除することで、宇宙論、ブラックホールの摂動、連星系における一貫性のある非線形計算を可能にすること。
• 計量および物質場を含む任意のテンソル場に対して、明示的な分解を用いてゲージ不変部とゲージ変動部に分離する一般形式を提供すること。

提案手法

• 第一種ゲージを、一般共変性に起因する単一の多様体上の座標系として区別する。
• 第二種ゲージを、背景時空 $\mathcal{M}_0$ と物理的時空 $\mathcal{M}$ の間の微分同相写像 $\mathcal{X}: \mathcal{M}_0 \to \mathcal{M}$ の選択として特定する。
• 1パラメータ族の微分同相写像 $\Phi_\lambda = \mathcal{X}_\lambda^{-1} \circ \mathcal{Y}_\lambda$ によるテンソル場の引き戻しを用いて、ゲージ変換則を導出する。
• 引き戻しのテイラー展開を用いて変換則を導出：$\delta^{(1)}Q = \mathcal{L}_{\xi_1} Q_0$、$\delta^{(2)}Q = 2\mathcal{L}_{X} \delta^{(1)}Q + (\mathcal{L}_{Y} - \mathcal{L}_X^2)Q_0$。
• ゲージ不変変数を $^{(1)}\!\mathcal{Q^{} = {}^{(1)}\!Q - \mathcal{L}_X Q_0$、$^{(2)}\!\mathcal{Q} = {}^{(2)}\!Q - 2\mathcal{L}_X {}^{(1)}\!Q - (\mathcal{L}_Y - \mathcal{L}_X^2)Q_0$ として構成する。
• この形式を用いて、計量摂動をゲージ不変部 $\mathcal{L}_{ab}$ と $X^a$、$Y^a$ を含むゲージ変動部に分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における第一種ゲージと第二種ゲージの間の明確な概念的区別は何か？
• RQ2 2つの異なる時空多様体が関与する2次摂動理論において、ゲージ自由度をどのように一貫して取り扱えるか？
• RQ3 第二種ゲージの選択の変更に対する一般化された摂動変換則は何か？
• RQ4 任意のテンソル場に対して、2次においてゲージ不変変数を体系的に構築する方法は何か？
• RQ5 第二次計量および物質場摂動の、ゲージ不変部とゲージ変動部への明示的分解は何か？

主な発見

• この論文は、一般相対性理論に座標（第一種）ゲージと点同定（第二種）ゲージという2種類の異なるゲージ自由度が存在することを確立する。
• 第二種ゲージは、摂動理論において背景時空と物理的時空の間の点の同定が一意でないことに起因する。
• 異なる第二種ゲージ間のゲージ変換は、背景時空 $\mathcal{M}_0$ 上の微分同相写像 $\Phi_\lambda$ で表される。
• 第一階のゲージ変換則は $^{(1)}_{\mathcal{Y}}Q - {}^{(1)}_{\mathcal{X}}Q = \mathcal{L}_{\xi_1} Q_0$、第二階の則は $^{(2)}_{\mathcal{Y}}Q - {}^{(2)}_{\mathcal{X}}Q = 2\mathcal{L}_X {}^{(1)}_{\mathcal{X}}Q + (\mathcal{L}_{Y} - \mathcal{L}_X^2)Q_0$ である。
• 任意の場 $Q$ に対するゲージ不変変数は $^{(1)}\!\mathcal{Q} = {}^{(1)}\!Q - \mathcal{L}_X Q_0$ および $^{(2)}\!\mathcal{Q} = {}^{(2)}\!Q - 2\mathcal{L}_X {}^{(1)}\!Q - (\mathcal{L}_Y - \mathcal{L}_X^2)Q_0$ で与えられ、物理的観測量がゲージ選択に依存しないことを保証する。