[논문 리뷰] Gauge/Liouville Triality

Mina Aganagic, Nathan Haouzi외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 06.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 66인용 수 51

한 줄 요약

이 논문은 q-리우빌 conformal field theory, Ω-배경에서의 3d N=2 U(N) 게이지 이론, 그리고 2M개의 기본형을 가진 5d N=1 U(M) 게이지 이론 사이의 삼중성(duality)을 수립한다. Dotsenko-Fateev 적분이 q-리우빌 conformal 블록에 대해 정확히 3d 게이지 이론의 분할 함수와 일치함을 보이며, 이는 쿨롱 모듈리가 양자화될 경우 5d 이론의 Nekrasov 인스탄턴 수와 동일하다. 이 관계는 잔여 계산을 통해 증명되며, 극은 분할로 표시되고 잔여는 Nekrasov 합항에 대응한다.

ABSTRACT

Conformal blocks of Liouville theory have a Coulomb-gas representation as Dotsenko-Fateev (DF) integrals over the positions of screening charges. For q-deformed Liouville, the conformal blocks on a sphere with an arbitrary number of punctures are manifestly the same, when written in DF representation, as the partition functions of a class of 3d U(N) gauge theories with N=2 supersymmetry, in the Omega-background. Coupling the 3d gauge theory to a flavor in fundamental representation corresponds to inserting a Liouville vertex operator; the two real mass parameters determine the momentum and position of the puncture. The DF integrals can be computed by residues. The result is the instanton sum of a five dimensional N=1 gauge theory. The positions of the poles are labeled by tuples of partitions, the residues of the integrand are the Nekrasov summands.

연구 동기 및 목표

• q-리우빌 conformal field theory와 Ω-배경에서의 3d N=2 U(N) 게이지 이론 사이의 이중성(duality)을 수립하는 것.
• Dotsenko-Fateev 표현을 통해 q-리우빌 conformal 블록을 3d 게이지 이론의 분할 함수와 등가임을 보이는 것.
• 3d 게이지 이론이 2M개의 기본형을 가진 5d N=1 U(M) 게이지 이론으로부터 비틀림 이론(vortex theory)으로서 유도됨을 보이는 것.
• 쿨롱 브랜치 매개변수를 양자화할 경우 3d 이론의 분할 함수가 5d 이론의 Nekrasov 인스탄턴 합과 일치함을 증명하는 것.
• 스펙트럼 이중성의 역할을 규명하여 5d 게이지 이론이 AGT 연관 이론의 스펙트럼 이중체임을 보여주는 것.

제안 방법

• Dotsenko-Fateev 자유장 표현을 사용하여 q-리우빌 conformal 블록을 스크리닝 전하 위치에 대한 적분으로 표현한다.
• Dotsenko-Fateev 적분을 Ω-배경 M_q = (C × S^1)_q에서의 3d N=2 U(N) 게이지 이론의 분할 함수로 식별한다.
• 3d 게이지 이론에 M개의 기본형 히퍼멀티플릿을 결합하며, 편미분 다중체의 실수 질량이 리우빌 점입자 연산자의 운동량과 위치를 캐릭터라이즈한다.
• 잔여 계산을 통해 분할 함수를 계산하며, 극은 분할의 튜플로 표시되고 잔여는 Nekrasov 합항에 해당한다.
• 결과로 얻어진 합이 M_{q,t} = (C × C × S^1)_{q,t}에서 2M개의 기본형을 가진 5d N=1 U(M) 게이지 이론의 Nekrasov 분할 함수와 일치함을 보인다.
• 5d 이론이 AGT 연관 5d 이론의 스펙트럼 이중체임을 수립하며, 동일한 Seiberg-Witten 곡선을 공유하지만 라그랑지안은 다르다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 q-리우빌 conformal 블록은 Ω-배경에서의 3d N=2 게이지 이론과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 Dotsenko-Fateev 적분은 3d 게이지 이론에 기본형 물질이 포함된 경우에 대해 물리적 해석으로서 어떻게 해석될 수 있는가?
• RQ3 3d 게이지 이론은 5d N=1 게이지 이론으로부터 어떻게 비틀림 이론으로서 유도되는가?
• RQ4 왜 쿨롱 모듈리가 양자화될 경우 5d 게이지 이론과 3d 게이지 이론의 Nekrasov 분할 함수가 일치하는가?
• RQ5 이 삼중성은 AGT 연관관계와 5d 게이지 이론의 스펙트럼 이중성과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 구멍이 M+2 개인 구면에서의 q-리우빌 conformal 블록에 대한 Dotsenko-Fateev 적분은 명백하게 3d N=2 U(N) 게이지 이론의 분할 함수와 일치한다. 이 이론은 M개의 기본형을 가진다.
• 리우빌 점입자 연산자의 삽입은 3d 게이지 이론에 기본형 히퍼멀티플릿을 결합하는 것으로 해석되며, 실수 질량은 점입자의 운동량과 위치를 캐릭터라이즈한다.
• 3d 게이지 이론의 분할 함수는 잔여 계산을 통해 계산되며, 극은 분할의 튜플로 표시되고 잔여는 Nekrasov 합항과 같다.
• 쿨롱 브랜치 매개변수의 양자화 값에 대해 3d 게이지 이론의 분할 함수는 2M개의 기본형을 가진 5d N=1 U(M) 게이지 이론의 Nekrasov 인스탄턴 합과 일치한다.
• 5d 게이지 이론은 AGT 연관 5d 이론의 스펙트럼 이중체이며, 동일한 Seiberg-Witten 곡선을 공유하지만 라그랑지안은 다르다.
• q-리우빌 CFT, 3d 게이지 이론, 5d 게이지 이론 사이의 삼중성은 직접적인 점검을 통해 증명되었으며, 임의의 N에 대해 성립한다. 큰 N 근사에서는 연속적인 운동량과 완전한 리우빌 상관함수를 허용한다.