[논문 리뷰] Toda Theories, Matrix Models, Topological Strings, and N=2 Gauge Systems

Robbert Dijkgraaf, Cumrun Vafa|ArXiv.org|2009. 09. 13.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 45인용 수 212

한 줄 요약

이 논문은 $\mathcal{N}=2$ $SU(n)$ 게이지 이론에 대해 초끈이론을 이용한 AGT 대응의 유도를 확립한다. 이는 리만 곡면 위의 $A_{n-1}$ 특이성에서의 위상적 끈 분할함수와 $A_{n-1}$ 토다 양자역학적 장이론의 측정 블록 사이의 등가성을 보여줌으로써 이루어진다. 대규모 $N$ dualities와 행렬모형 홀로그래피를 사용하여, 시브르크-위트너 곡선을 펜너 유사 행렬모형의 스펙트럼 곡선으로 식별하며, 네크라소프 변형은 $\beta$-집합과 토다 이론의 일반 배경 전하에 대응됨을 밝혀냄.

ABSTRACT

We consider the topological string partition function, including the Nekrasov deformation, for type IIB geometries with an A_{n-1} singularity over a Riemann surface. These models realize the N=2 SU(n) superconformal gauge systems recently studied by Gaiotto and collaborators. Employing large N dualities we show why the partition function of topological strings in these backgrounds is captured by the chiral blocks of A_{n-1} Toda systems and derive the dictionary recently proposed by Alday, Gaiotto and Tachikawa. For the case of genus zero Riemann surfaces, we show how these systems can also be realized by Penner-like matrix models with logarithmic potentials. The Seiberg-Witten curve can be understood as the spectral curve of these matrix models which arises holographically at large N. In this context the Nekrasov deformation maps to the beta-ensemble of generalized matrix models, that in turn maps to the Toda system with general background charge. We also point out the notion of a double holography for this system, when both n and N are large.

연구 동기 및 목표

• 위상적 끈 이론과 대규모 $N$ 이중성을 이용하여 $\mathcal{N}=2$ $SU(n)$ 게이지 이론에 대한 AGT 대응을 설명한다.
• 리만 곡면을 기저로 하는 $A_{n-1}$-특이 기하에서의 위상적 끈 분할함수가 $A_{n-1}$ 토다 양자역학적 장이론의 측정 블록을 계산함을 보여준다.
• 대규모 $N$ 근사에서 위상적 끈 이론에 이중적인 펜너 유사 행렬모형의 스펙트럼 곡선을 통해 시브르크-위트너 기하를 홀로그래픽하게 실현한다.
• 네크라소프 변형 $\epsilon_1, \epsilon_2$를 행렬모형의 $\beta$-집합 매개변수로 매핑하고, 이를 토다 이론의 일반 배경 전하와 연결한다.
• 랭크 $n$과 브레인 수 $N$ 이 모두 큰 극한에서 双중 홀로그래피(double holography)를 탐구한다.

제안 방법

• 브레인 위의 위상적 끈 이론과 게이지 이론 사이의 대규모 $N$ 이중성을 활용하여 닫힌 끈 진동수를 열린 끈 불변량과 연결한다.
• 반사 칼라비-야우 기하에서의 B-모델 위상적 끈 이론을 사용하여 전위함수와 고차수 진동수를 계산한다.
• $\mathcal{N}=2$ 게이지 이론을 리만 곡면을 감싸는 $N$개의 M5 브레인 시스템으로 매핑하며, 기하학적 구조가 시브르크-위트너 곡선을 나타냄을 보여준다.
• 종수 0 리만 곡면의 경우, 로그 잠재 에너지를 가진 펜너 유사 행렬모형을 통해 위상적 끈 분할함수를 실현한다.
• 대규모 $N$ 근사에서 행렬모형의 스펙트럼 곡선을 시브르크-위트너 곡선으로 식별한다.
• 네크라소프 변형 $\epsilon_1, \epsilon_2$를 행렬모형의 $\beta$-집합 매개변수로 매핑하고, 이를 토다 이론의 배경 전하 $Q$와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상적 끈 분할함수와 $A_{n-1}$-특이 칼라비-야우 기하에서의 리만 곡면 기반 기하학은 $A_{n-1}$ 토다 양자역학적 장이론의 측정 블록과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 위상적 끈 이론에 이중적인 대규모 $N$ 근사에서의 행렬모형에서 시브르크-위트너 곡선은 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 네크라소프 변형은 어떻게 $\beta$-집합 형태의 행렬모형에서 유도되는가?
• RQ4 위상적 끈 이론에서 기하학적 전환을 통해 AGT 대응을 도출할 수 있는가?
• RQ5 게이지 군의 랭크 $n$과 브레인 수 $N$ 이 모두 클 때, 이중 홀로그래피(double holography)의 본질은 무엇인가?

주요 결과

• 리만 곡면 기반의 $A_{n-1}$-특이 기하에서의 위상적 끈 분할함수는 $A_{n-1}$ 토다 CFT의 측정 블록과 등가이다.
• 종수 0 리만 곡면의 경우, 분할함수는 로그 잠재 에너지를 가진 펜너 유사 행렬모형으로 기술되며, 그 스펙트럼 곡선은 시브르크-위트너 곡선이다.
• 네크라소프 변형 $\epsilon_1, \epsilon_2$는 행렬모형의 $\beta$-집합 매개변수로 매핑되며, 이는 토다 이론의 배경 전하 $Q$에 대응된다.
• 종수 0 자유 에너지 $\mathcal{F}_0$는 스펙트럼 곡선에 의해 결정되며, 고차수 진동수 $\mathcal{F}_g$는 토다 스트레스 텐서가 $\phi \to -\phi$에 대해 불변이 아니므로 $g_s$의 홀수 거듭제곱 항을 포함한다.
• 시스템은 이중 홀로그래피를 나타낸다: 하나는 행렬모형의 대규모 $N$ 근사에서 유도되고, 다른 하나는 $A_{n-1}$ 특이성의 대규모 $n$ 근사에서 유도되며, 이는 $A_\infty$ 퀼리 행렬모형에 대응된다.
• 이 연결성은 정점 연산자의 상관함수로까지 확장되며, 이는 $\langle \prod_i V_m(q_i) \rangle_N$ 형태로 표현되며, 대규모 $N$ 근사에서 행렬모형을 통해 계산된다.