[論文レビュー] Gaussian Approximation for High Dimensional Time Series

Danna Zhang, Wei Biao Wu|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2015

Statistical Methods and Inference参考文献 28被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、関数的依存度の測定を活用して、高次元ステーショナリィ時間系列のためのガウス近似を確立し、弱い依存性と発散する次元のもとで、平均ベクトルの有効な同時推論を可能にする。主な貢献は、正規化された標本平均とガウス分布ベクトルとの間のスープ・ノルム距離に対する非漸近的バウンドを確立することであり、一般のモーメントおよび依存性条件のもとで信頼区間やブートストラップ法への応用が可能になる。

ABSTRACT

We consider the problem of approximating sums of high-dimensional stationary time series by Gaussian vectors, using the framework of functional dependence measure. The validity of the Gaussian approximation depends on the sample size $n$, the dimension $p$, the moment condition and the dependence of the underlying processes. We also consider an estimator for long-run covariance matrices and study its convergence properties. Our results allow constructing simultaneous confidence intervals for mean vectors of high-dimensional time series with asymptotically correct coverage probabilities. A Gaussian multiplier bootstrap method is proposed. A simulation study indicates the quality of Gaussian approximation with different $n$, $p$ under different moment and dependence conditions.

研究の動機と目的

• 標本サイズ $ n $ と次元 $ p $ が両方とも発散する高次元ステーショナリィ時間系列の正規化された標本平均ベクトルに対するガウス近似を開発すること。
• 古典的中心極限定理が $ \sqrt{n} = o(p) $ の下で失敗する高次元設定 $ p \to \infty $ における中心極限定理の拡張。
• 正規化された標本平均ベクトルのスープ・ノルムがガウス分布ベクトルのスープ・ノルムに分布収束するための条件を確立すること。
• 弱い依存性のもとで、長期共分散行列の一貫した推定器を提供し、実用的推論を可能にすること。
• 高次元時間系列における同時信頼区間のための漸近的に正しい被覆を有するガウス乗数ブートストラップ法の開発。

提案手法

• 高次元時間系列における依存性を定量化するための関数的依存度の枠組みを用い、弱い依存構造を許容する。
• カップリングおよび尾確率不等式を用いて、正規化された標本平均とガウス分布ベクトルとの間のスープ・ノルム距離に対する非漸近的バウンドを確立する。
• 従属過程の二次形式のための大偏差バウンドを導出する、バッチ平均推定量を用いた長期共分散行列 $ \Sigma $ の推定。
• 推定された長期共分散行列を用いたガウス乗数ブートストラップを適用し、漸近的に正しい被覆を有する同時信頼区間を構築する。
• 依存性を制御するための打ち切りおよび射影技術を $ Y_{m} $-近似を介して用い、誤差バウンドを $ m $, $ w $, および $ n $ に依存させる。
• 収束のための条件を $ n $, $ p $, モーメント条件（$ \|X_{ij}\|_q < \infty $）および依存パrameter（$ \Psi_{2,\alpha} $, $ \Phi_{\psi_\nu,\alpha} $）について導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元ステーショナリィ時間系列の正規化された標本平均ベクトルがスープ・ノルムにおいてガウス分布ベクトルに収束する条件は何か？
• RQ2 弱い依存性を有する高次元時間系列において、長期共分散行列を一貫して推定する方法は何か？
• RQ3 ガウス近似が成立するための $ n $, $ p $, モーメント、および依存構造に関する十分条件は何か？
• RQ4 高次元時間系列における同時推論のためのガウス乗数ブートストラップ法を、漸近的に正しい被覆を有する形で構築できるか？
• RQ5 ガウス近似における収束速度は、プロセスの依存強度および尾挙動にどのように依存するか？

主な発見

• ガウス近似は、$ \max(L_1, L_2) \max(W_1, W_2) = o(1) \min(n, N_1, N_2) $ の条件下で成立し、正規化された標本平均とガウス分布ベクトルとの間のスープ・ノルム距離がゼロに収束することを保証する。
• $ \alpha > 1/2 - 1/q $ の場合、近似誤差は $ \lesssim f^*(\sqrt{n}\eta) + \eta\sqrt{\log p} + h(\lambda, u_m^*(\lambda)) + \pi(\Psi_{2,\alpha}\Psi_{2,0}(m^{-\alpha} + v(M)) + wm/n) $ で抑えられ、適切な $ m $ および $ w $ の選択のもとでゼロに収束する。
• 弱いモーメントおよび依存性条件のもとで、長期共分散行列のバッチ平均推定量は一貫性を有し、二次形式のための大偏差バウンドが導出される。
• 推定された長期共分散行列に基づくガウス乗数ブートストラップ法は、同時信頼区間に対して漸近的に正しい被覆を達成する。
• 近似誤差は、$ m \gg \max(L_1, (\Psi_{2,\alpha} \log p)^{1/\alpha}) $, $ wm \ll \min(N_1, N_2) $, および $ w \gg \max(W_1, W_2) $ のとき減少し、$ N_2 \lesssim n(\log p)^{-2} $ が成り立つ。
• $ \alpha < 1/2 - 1/q $ の場合、バウンドは $ f^\diamond $ および $ u_m^\diamond $ に置き換えられ、$ \Theta_{q,\alpha}(\log p)^{1/2} = o(n^\alpha) $ が要求され、条件 (12) が満たされれば結果は成立する。