[論文レビュー] Gaussian Cooling and O*(n^3) Algorithms for Volume and Gaussian Volume

Ben Cousins, Santosh Vempala|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ガウス冷却における新しい加速冷却スケジュールを用いて、解かれていないKLS予想に依存せずに、最初に$O^{*}(n^3)$の複雑さを達成する、良-roundな凸体の体積を推定する$O^{*}(n^3)$の確率的アルゴリズムを提示する。この手法は、凸体上でのガウス分布の改善されたサンプリングを活用し、球対称ガウス分布に対してKLS予想が成り立つことを証明し、同じ漸近的複雑さで体積およびガウス体積推定を可能にする。

ABSTRACT

We present an $O^*(n^3)$ randomized algorithm for estimating the volume of a well-rounded convex body given by a membership oracle, improving on the previous best complexity of $O^*(n^4)$. The new algorithmic ingredient is an accelerated cooling schedule where the rate of cooling increases with the temperature. Previously, the known approach for potentially achieving this asymptotic complexity relied on a positive resolution of the KLS hyperplane conjecture, a central open problem in convex geometry. We also obtain an $O^*(n^3)$ randomized algorithm for integrating a standard Gaussian distribution over an arbitrary convex set containing the unit ball. Both the volume and Gaussian volume algorithms use an improved algorithm for sampling a Gaussian distribution restricted to a convex body. In this latter setting, as we show, the KLS conjecture holds and for a spherical Gaussian distribution with variance $σ^2$, the sampling complexity is $O^*(\max\{n^3, σ^2n^2\})$ for the first sample and $O^*(\max\{n^2, σ^2n^2\})$ for every subsequent sample.

研究の動機と目的

• メンバーシップオракルによって与えられた凸体の体積を推定する、より高速な確率的アルゴリズムの開発。
• KLS超平面予想を仮定しないで、体積計算における従来の$O^{*}(n^4)$の複雑さの壁を打ち破ること。
• 単位球を含む凸体上での標準ガウス分布の積分を、$O^{*}(n^3)$の複雑さで行うアルゴリズムの確立。
• 凸体上に制限された球対称ガウス分布に対してKLS予想が成り立つことを証明し、より高速なサンプリングを可能にすること。
• STOC 2015およびSODA 2014の先行研究を統合・拡張し、体積およびガウス体積推定のための単一で改善されたフレームワークの構築。

提案手法

• 冷却速度が温度に応じて増加する新しい加速冷却スケジュールを導入し、シミュレーテッドアニーリング風のアルゴリズムにおける収束を改善する。
• 体積比をサンプリングにより推定するために、$K_i = 2^{i/n}B_n \cap K$という凸体の列を用い、小さな球から目的の体積$K$へ段階的にスケーリングする。
• KLS予想が球対称ガウス分布に対して成り立つことを利用し、混合時間の上限が改善された連続的なランダムウォーク（ボールウォーク）を適用する。
• 球対称ガウス分布（分散$\sigma^2$）に対して、最初のサンプルのサンプリング複雑さが$O^{*}(\max\{n^3, \sigma^2 n^2\})$、以降のサンプルが$O^{*}(\max\{n^2, \sigma^2 n^2\})$であることを証明する。
• 集中不等式（チェビシェフおよびマコフ）を用いて、体積比の積の推定誤差を抑え、高確率での正しさを保証する。
• 事前処理ステップを用い、凸体をほぼ等方的配置に配置することで、$K$に一様に抽出された$X$に対して$\mathbb{E}(\|X\|^2) = O^{*}(n)$となるようにし、良-round性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の体積推定アルゴリズムの$O^{*}(n^4)$の複雑さを、KLS超平面予想を仮定せずに$O^{*}(n^3)$に低減できるか？
• RQ2 凸体上に制限されたガウス分布に対してKLS予想が成り立つか？これにより、より高速なサンプリングが可能か？
• RQ3 加速冷却スケジュールを厳密に解析し、体積計算において$O^{*}(n^3)$の複雑さを達成できるか？
• RQ4 一様分布からのサンプリングのオーバーヘッドコストは、漸近的に体積推定のコストと同等か？
• RQ5 このフレームワークを一般の対数凸関数の凸体上での積分に拡張でき、同様の複雑さで行えるか？

主な発見

• 本稿は、単位球を含み、半径$O^{*}(\sqrt{n})$の球に含まれる任意の良-roundな凸体の体積を推定する$O^{*}(n^3)$の確率的アルゴリズムを達成した。
• 単位球を含む凸体上でのガウス体積推定に対して、アルゴリズムは$O^{*}(n^3)$時間で実行され、体積計算の複雑さと一致する。
• 球対称ガウス分布が凸体上に制限された場合にKLS予想が成り立つことが証明され、最初のサンプルの複雑さが$O^{*}(\max\{n^3, \sigma^2 n^2\})$で、より高速なサンプリングが可能になった。
• 同じガウス分布からの以降のサンプルは$O^{*}(\max\{n^2, \sigma^2 n^2\})$時間で生成可能であり、従来のサンプリング複雑さを改善した。
• 加速冷却と証明されたKLSケースからの改善された混合時間上限を組み合わせることで、体積計算の複雑さが$O^{*}(n^3)$に達成された。
• サンプリングのアモアタイズドコストは、今や体積計算のコストと漸近的に同等となり、従来のアルゴリズムで$ n $倍もサンプリングが安価だったのとは顕著に異なる。