[論文レビュー] Gaussian optimizers and other topics in quantum information

Giacomo De Palma|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本学位論文は、固定された入力エントロピーのもとで、1モードのガウス過程における出力エントロピーを最小化する状態が、フォック基底で対角的で固有値が減少する受動状態（passive states）であることを確立した。これは、ガウス状態が減衰器チャネルにおいて最適であることを証明するものであり、最小出力エントロピー予想を解決し、量子ブロードキャストおよびメモリ付きチャネルの容量領域の計算を可能にするとともに、位相空間の拡大（dilatations）が非ガウス性の唯一のテストであることを特定した。

ABSTRACT

The main topic of this thesis is the proof of two fundamental entropic inequalities for quantum Gaussian channels. Quantum Gaussian channels model the propagation of electromagnetic waves through optical fibers and free space in the quantum regime, and provide the mathematical model to determine the maximum rates achievable by quantum communication devices for communication and quantum key distribution. The first inequality proven in this thesis is the quantum Entropy Power Inequality, which provides a lower bound to the output entropy of the beam-splitter or of the squeezing in terms of the entropies of the two inputs. The second inequality states that Gaussian states minimize the output entropy of the one-mode quantum Gaussian attenuator among all the input states with a given entropy, and was a longstanding conjecture in quantum communication theory. The generalization of this inequality to the multimode attenuator would determine its triple trade-off region and its capacity region for broadcast communication to two receivers. The thesis contains further results in Gaussian quantum information, quantum statistical mechanics and relativistic quantum information. The most important of these results concerns the Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH). The ETH is an assumption in quantum statistical mechanics stating that the eigenstates of the Hamiltonian of a system+bath compound look as thermal states if we can access only the system. We prove that the ETH must hold if the system thermalizes for any initial product state of the system+bath compound with a well-defined temperature.

研究の動機と目的

• 固定された入力エントロピーのもとで、1モードのガウス過程における出力フォン・ノイマンエントロピーを最小化するガウス状態の長年の予想を解決すること。
• 特に1モード減衰器および損失付きチャネルを含む、量子ガウス過程における最適入力状態を特定すること。
• メモリ効果を有する量子ガウスチャネルの古典的容量を特定すること。
• ガウス状態を保存する線形でトレース保存な写像を分類し、その構造を同定すること。
• オープン量子系における熱化のための固有状態熱化仮説（Eigenstate Thermalization Hypothesis, ETH）の必要性を確立すること。

提案手法

• 主要化理論を用いて、同じスペクトルを持つ任意の状態よりも、受動状態が低いエントロピーを持つ出力状態を生成することを示した。
• フォック再配置原理を適用し、受動状態が1モードガウス過程において最適であることを証明した。
• 量子エントロピー・パワー不等式（EPIn）を用いて、最小出力エントロピーのタイトな下界を得たが、ガウス状態では達成されないため、最適性を単独で証明するには不十分である。
• ガウスからガウスへのスーパーオペレーターの正規形分解を導出し、任意のこのような写像が位相空間の拡大と組み合わせた量子ガウスチャネルであることを示した。
• 反復的量子減衰器および増幅器としてモデル化することで、ガウスチャネルにおけるメモリ効果を分析した。
• デ・ブリュイーン恒等式および量子フィッシャー情報量を用いて、拡散過程におけるエントロピー変化の上限を導出した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された入力エントロピーのもとで、ガウス入力状態は1モードガウスチャネルの出力エントロピーを最小化するか？
• RQ2 ガウス状態の集合を保存する線形でトレース保存な写像の構造は何か？
• RQ3 メモリ効果を有する量子ガウスチャネルの古典的容量は特定可能か？また、最適なエネルギー分布は何か？
• RQ4 初期状態がすべての相関のない状態に対して熱化が保証されるための条件は何か？
• RQ5 2つの波束の量子重ね合わせ状態と統計的混合状態を区別するのに必要な最小時間に、根本的な下限はあるか？

主な発見

• 固定された入力エントロピーのもとで、任意の1モードガウスチャネルにおける出力エントロピーは受動状態によって最小化され、1モード減衰器においてガウス状態が最適であることが証明された。
• 量子エントロピー・パワー不等式（EPIn）は最小出力エントロピーのタイトな下界を与えるが、ガウス状態では達成されないため、最適性を単独で証明するには不十分である。
• ガウス的劣化ブロードキャストチャネルの古典的容量は、最小出力エントロピー予想の解決に起因し、受動状態の最適性により完全に特定された。
• メモリ付きガウスチャネルでは、パワー制約のもとで情報伝送を最大化するための最適な符号化戦略として、モード間での非一様なエネルギー分布が要求される。
• ガウス状態を保存する任意の線形でトレース保存な写像は、量子ガウスチャネルと位相空間の拡大の合成として表され、拡大が非ガウス性の唯一のテストであることが同定された。
• すべての初期状態が明確な温度を持つ相関のない状態である場合に、系とバスタッチの熱化が成立するためには、系-バストルハミルトニアンに対して固有状態熱化仮説（ETH）が成立する必要があり、ETHは熱化のための唯一の必要条件であることが示された。