[論文レビュー] General and Fractional Hypertree Decompositions: Hard and Easy Cases

Wolfgang Fischl, Georg Gottlob+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2016

Algorithms and Data Compression参考文献 51被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、固定された k ≥ 2 に対して、分数ハイパートリー幅（fhw）≤ k および一般化ハイパートリー幅（ghw）≤ 2 をチェックすることの NP-完全性を確立し、長年の未解決問題を解消した。さらに、有界多重交差性特性（BMIP）や有界交差性特性（BIP）といった tractable な制約を同定し、fhw および ghw の多項式時間計算または効率的な近似を可能にした。これにより、結合的クエリおよびCSP最適化のための実用的アルゴリズムが得られた。

ABSTRACT

Hypertree decompositions, as well as the more powerful generalized hypertree decompositions (GHDs), and the yet more general fractional hypertree decompositions (FHD) are hypergraph decomposition methods successfully used for answering conjunctive queries and for the solution of constraint satisfaction problems. Every hypergraph H has a width relative to each of these decomposition methods: its hypertree width hw(H), its generalized hypertree width ghw(H), and its fractional hypertree width fhw(H), respectively. It is known that hw(H) <= k can be checked in polynomial time for fixed k, while checking ghw(H) <= k is NP-complete for any k greater than or equal to 3. The complexity of checking fhw(H) <= k for a fixed k has been open for more than a decade. We settle this open problem by showing that checking fhw(H) <= k is NP-complete, even for k=2. The same construction allows us to prove also the NP-completeness of checking ghw(H) <= k for k=2. After proving these hardness results, we identify meaningful restrictions, for which checking for bounded ghw or fhw becomes tractable.

研究の動機と目的

• 固定された k に対して、分数ハイパートリー幅（fhw）≤ k をチェックすることが tractable かどうかという未解決問題を解消すること。
• 一般化ハイパートリー幅（ghw）の複雑性ギャップを埋めるために、ghw ≤ 2 が NP-完全であることを証明すること。
• fhw および ghw の tractable な計算または良い近似を保証する、現実的で非自明なハイパーグラフ制約を同定すること。
• BMIP や BIP といった構造的制約の下で、fhw の多項式時間アルゴリズムまたは近似スキームを提供すること。

提案手法

• 3-SAT からの還元を用いて、fhw ≤ 2 および ghw ≤ 2 をチェックすることが NP-完全であることを証明。この構成は幅制約を保持するように設計されたものである。
• 有界多重交差性特性（BMIP）の導入。ここで、任意の c 個の辺の共通部分集合のサイズが i 以下であると定義され、tractable なハイパーグラフクラスを定義する。
• 有界 VC-dimension および構造的性質を活用し、辺が生成する集合のシャッター集合のサイズを制限することで、幅の近似を可能にする。
• BMIP を満たすハイパーグラフに対して、fhw を O(k·log k) 因子内で近似する多項式時間アルゴリズムを設計。分数的から整数的エッジカバー近似を用いる。
• 有界交差性特性（BIP）を適用し、fhw を任意に近い多項式時間近似を達成する。
• 有界次数特性（BDP）を用いて、エッジの重複と次数制約を制御し、Check (FHD, k) および Check (GHD, k) の tractability を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された k ≥ 2 に対して、fhw(H) ≤ k をチェックすることは NP-完全か？
• RQ2 固定された k ≥ 2 に対して、ghw(H) ≤ 2 をチェックすることは NP-完全か？
• RQ3 ハイパーグラフに意味のある構造的制約を課すことで、fhw および ghw の tractable な計算または近似が保証されるか？
• RQ4 有界多重交差性特性（BMIP）は、fhw を対数因子内で多項式時間で近似可能か？
• RQ5 Grohe と Marx（2014）が提案した特別な条件は、その制約下での fhw の効率的同定を可能にするか？

主な発見

• fhw(H) ≤ k はすべての k ≥ 2 に対して NP-完全である。15年間にわたる未解決問題が解決された。
• ghw(H) ≤ 2 は NP-完全であり、一般化ハイパートリー幅の最後の未解決ケースが閉じられた。
• 有界多重交差性特性（BMIP）により、fhw の多項式時間 O(k·log k)-近似が可能である。
• 有界交差性特性（BIP）により、fhw の任意に近い多項式時間近似が可能である。
• 有界次数特性（BDP）により、Check (FHD, k) および Check (GHD, k) の tractability が保証される。
• BMIP や BIP を満たすハイパーグラフは、現実の結合的クエリおよびCSPでよく見られ、制約の実用的妥当性が裏付けられた。