[論文レビュー] General (anti-)commutators of gamma matrices

Wolfgang Mueck|ArXiv.org|Nov 9, 2007

Matrix Theory and Algorithms参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の時空次元におけるガンマ行列の反対称化積のすべての交換関係および反交換関係について、明示的で閉形式の公式を導出する。一般化された交換関係ブラケットと一般化されたクロネッカーのデルタを用いて、再帰的でない有限和の表現を提供し、従来の表を統合・是正する。これにより、高エネルギー物理学および超重力理論やM理論のような高次元理論における効率的な計算が可能になる。

ABSTRACT

Commutators and anticommutators of gamma matrices with arbitrary numbers of (antisymmetrized) indices are derived.

研究の動機と目的

• 任意の数の反対称化インデックスをもつガンマ行列の交換関係および反交換関係の一般的で明示的な公式を導出すること。
• 既存の参考表（例：[2]の付録）における誤りや漏れ（タイプミスや欠落項）を解消すること。
• 超重力理論やM理論を含む高次元場理論に適用可能な、次元に依存しない統一的なガンマ行列代数の枠組みを提供すること。
• 再帰的関係やコンピュータ代数に依存することなく、一般化されたクロネッカーのデルタと二項係数を用いた閉形式の表現を提供すること。

提案手法

• 交換関係と反交換関係の構造を統一するため、一般化された交換関係ブラケット $[A,B]_x = AB + xBA$（$x = \pm 1$）を導入する。
• 反対称化インデックスの縮約に一般化されたクロネッカーのデルタ $\delta^{i_1\cdots i_k}_{j_1\cdots j_k}$ を用いる。
• クリフォード代数の関係 $\gamma^i\gamma^j + \gamma^j\gamma^i = 2g^{ij}$ と反対称化積の恒等式を用いて基本ケースを導出する。
• ガンマ行列 $\gamma^{i_1\cdots i_k}$ と $\gamma_{j_1\cdots j_l}$ のインデックス数 $k$ と $l$ について、数学的帰納法を適用する。
• 交換関係の分解に鍵となる恒等式 (11) を用い、二つの反対称化積の交換関係をネストされた交換関係に分解することで、帰納的証明を可能にする。
• 最終的な公式を、二項係数と一般化されたクロネッカーのデルタを含む有限和として構築する。$m$ が大きくなると二項係数が消えるため、自然に終了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の数のインデックスをもつ反対称化ガンマ行列積同士の（反）交換関係の一般形は何か？
• RQ2 特に高次元時空において、再帰的でない方法でこれら（反）交換関係を体系的に導出するにはどうすればよいか？
• RQ3 既知の参考表（例：[2]の付録）におけるガンマ行列（反）交換関係の修正はどのようなものが必要か？
• RQ4 （反）交換関係の構造を、標準的なテンソリアル対象（一般化されたクロネッカーのデルタなど）を用いて閉形式かつ次元に依存しない形で表現できるか？

主な発見

• 本稿では、二つのマスターフォーミュラを導出している：(9)は $(-1)^{kl}$-ブラケット化された交換関係、(10)は $(-1)^{kl+1}$-ブラケット化された反交換関係であり、両者とも有限和として表現される。
• これらの公式は再帰的ではなく、一般化されたクロネッカーのデルタ、二項係数、および反対称化ガンマ行列にのみ明示的に依存する。
• 結果は既知の基本ケースに正しく還元される：$l=1$ の場合、公式 (9) は標準的な交換関係 $[\gamma_j, \gamma^{i_1\cdots i_k}]_{(-1)^{k+1}} = 2k\delta_j^{[i_1}\gamma^{i_2\cdots i_k]}$ を再現する。
• 導出により、（反）交換関係の構造が、反対称化によるインデックス数の上限を除き、時空次元 $d$ に依存しないことが確認された。
• 本稿では、[2]の参考表に三つのタイプミスと一つの欠落項（8インデックスのガンマ行列）を特定し、導出された公式の正しさを検証した。