[論文レビュー] General criteria for the study of quasi-stationarity

Nicolas Champagnat, Denis Villemonais|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、吸収を伴うマーカフ過程における準定常分布（QSD）の存在および指数的収束に関する一般化されたラプラウン型基準を、重み付き全 Variation 範囲を用いて確立する。非一様収束性、$Q$-過程の指数的エルゴード性、拡散過程、ジャンプ過程、可約なチェイン、摂動された力学系への応用を含む。

ABSTRACT

For Markov processes with absorption, we provide general criteria ensuring the existence and the exponential non-uniform convergence in total variation norm to a quasi-stationary distribution. We also characterize a subset of its domain of attraction by an integrability condition, prove the existence of a right eigenvector for the semigroup of the process and the existence and exponential ergodicity of the Q-process. These results are applied to one-dimensional and multi-dimensional diffusion processes, to pure jump continuous time processes, to reducible processes with several communication classes, to perturbed dynamical systems and discrete time processes evolving in discrete state spaces.

研究の動機と目的

• 吸収を伴うマーカフ過程における準定常分布（QSD）の存在を保証する一般的で検証可能な基準を開発すること。
• 積分条件を満たす初期分布に対して、重み付き全 Variation 範囲における指数的非一様収束を確立すること。
• ラプラウン関数の積分可能性を用いて QSD の吸引域を特徴づけること。
• 半群に対する右固有関数の存在と $Q$-過程の指数的エルゴード性を証明すること。
• QSD理論の適用範囲を、非一様的楕円型拡散過程、可約なチェイン、摂動された力学系を含む複雑な過程へ拡張すること。

提案手法

• 著者らは、吸収前の過程の挙動を制御するため、条件 (E1)-(E3) を満たす一対のラプラウン関数 $\varphi_1 \geq 1$ および $\varphi_2 \leq 1$ を導入する。
• カップリングによる議論とモーメント推定を用いて、重み付き全 Variation 範囲 $\|\cdot\|_{TV(\varphi_1)}$ における収束を確立し、収束速度は $\alpha^t$（$\alpha \in (0,1)$）である。
• QSD の存在は、$P_t \eta = e^{-\lambda_0 t} \eta$ を満たす正の固有関数 $\eta$ の存在から導出される。ここで $\lambda_0$ は崩壊パラメータである。
• $Q$-過程は、非吸収を条件とした元の過程のドゥーブ $h$-変換として構成され、同じラプラウン枠組みを用いてその指数的エルゴード性が証明される。
• Harnack 不等式（拡散過程）、カップリングとモーメントバウンド（ジャンプ過程）、摂動解析（力学系）を用いて、ラプラウン条件の検証をさまざまな過程に適用する。
• 証明は、遷移核の新規な分解と、ディンキンの公式および比較議論による抜出自時刻の推定に依存する。

Figure 1: Transition graph displaying the relation between the sets $D_{1}$ , $D_{2}$ , $D_{3}$ and $\partial$ .

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 吸収を伴うマーカフ過程が準定常分布を有する一般条件は何か？
• RQ2 任意の初期分布に対して、重み付き全 Variation 範囲における指数的収束を保証する基準は何か？
• RQ3 ラプラウン関数の積分可能性を用いて QSD の吸引域をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 $Q$-過程の存在および指数的エルゴード性を保証する条件は何か？
• RQ5 不規則な状態空間、複数の通信クラス、非有界または特異的摂動を有する過程に対しても理論は適用可能か？

主な発見

• ラプラウン条件 (E1)-(E3) を満たす下で、$\nu(\varphi_1) < \infty$ かつ $\nu(\varphi_2) > 0$ を満たす測度のうち、準定常分布 $\nu_{QSD}$ は一意に存在する。
• 重み付き全 Variation 範囲における指数的収束が成立する：$\|\mathbb{P}_\mu(X_t \in \cdot \mid t < \tau_\partial) - \nu_{QSD}\|_{TV(\varphi_1)} \leq C \alpha^t \frac{\mu(\varphi_1)}{\mu(\varphi_2)}$（$\alpha \in (0,1)$）。
• 崩壊パラメータ $\lambda_0$ は、球 $B$ における $-\log \mathbb{P}_x(t < \tau_\partial)^{1/t}$ の下界として特徴づけられ、この下界は最小値として達成される。
• 半群に対する右固有関数 $\eta$ は $P_t \eta = e^{-\lambda_0 t} \eta$ を満たし、$\eta$ は $\mathcal{C}^2$ であり、定義域の内部で $\mathcal{L}\eta = -\lambda_0 \eta$ を満たす。
• $Q$-過程は指数的エルゴード的であり、収束速度は $\alpha^t$ であり、その不変測度は $\eta$ に比例する。
• 理論は非一様的楕円型拡散過程（例：競争を伴うフェラー拡散）、可算無限個の通信クラスを有する可約過程、非有界または特異的摂動を有する摂動された力学系に適用可能である。