[論文レビュー] General inner approximation of vector-valued functions

Mullier Olivier, Éric Goubault+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2013

Numerical Methods and Algorithms参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、定義域と値域の次元が異なる場合にも適用可能な、GoldsztejnとJaulinのベクトル値関数の内部近似法を拡張する。ヤコビ行列のランクを活用し、区間行列から最大ランクの部分行列を抽出するための3つの手法を提案することで、関数の値域の最大r成分についての内部近似を計算する。ここでrはヤコビ行列のランクである。この手法により、高次元の設定においてもより緊密な範囲推定が可能になる。

ABSTRACT

This paper addresses the problem of evaluating a subset of the range of a vector-valued function. It is based on a work by Gold- sztejn and Jaulin which provides methods based on interval analysis to address this problem when the dimension of the domain and co-domain of the function are equal. This paper extends this result to vector-valued functions with domain and co-domain of different dimensions. This ex- tension requires the knowledge of the rank of the Jacobian function on the whole domain. This leads to the sub-problem of extracting an in- terval sub-matrix of maximum rank from a given interval matrix. Three different techniques leading to approximate solutions of this extraction are proposed and compared.

研究の動機と目的

• 既存の内部近似手法が定義域と値域の次元が等しい場合にのみ適用可能であるという制限を解消すること。
• 定義域次元mと値域次元nが異なる場合（m ≠ n）に、関数f: ℝ^m → ℝ^n の値域の最大r成分についての内部近似を計算可能とすること。ここでrはヤコビ行列のランクである。
• 一般化の鍵となる部分問題である、区間行列から最大ランクの部分行列を抽出する実用的手法を開発すること。
• ロバスト制御、グローバル最適化、抽象解釈などの応用分野におけるより緊密な範囲推定を可能とするフレームワークを提供すること。
• ヤコビ行列のランクが定数rである場合に、その方法が正当かつ適用可能であることを保証すること。

提案手法

• ヤコビアンのランクrが定数で、r ≤ min(m,n) である関数f: ℝ^m → ℝ^n に対して、GoldsztejnとJaulinの手法を一般化する。
• 陰関数定理を用いて、ランクが最大rのヤコビアン部分行列を持つr個の成分に関数を射影する。
• 与えられた区間行列から最大ランクの部分行列を抽出するための3つの異なる手法を提案する：(1) ランクを明らかにするQR分解、(2) SVDに基づく選択、(3) 区間幅と行列式の上限に基づくヒューリスティックなグリーディ選択。
• システムを変換して可逆部分を分離した後、選択されたr個の成分に対して区間ニュートン反復を適用する。
• パラメータεは内部近似の精度を制御し、εを小さくすることでより緊密な境界が得られるが、計算コストが増加する。
• 区間解析に依存することで、すべての計算された内部近似が数学的に妥当であり、実際にfが達成する値のみを含むことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定義域と値域の次元が等しくない場合に、ベクトル値関数の値域の内部近似をどのように一般化できるか？
• RQ2 正確なランク抽出がNP困難であることを踏まえ、区間行列から最大ランクの部分行列を抽出する手法として何が利用可能か？
• RQ3 ヤコビアン行列のランクをどのように活用して、有効な内部近似を計算できる関数の成分を特定できるか？
• RQ4 異なる部分行列抽出手法が、得られる内部近似の緊密さと計算コストに与える影響は何か？
• RQ5 アルゴリズムにおけるεの選択が、内部近似の精度と性能にどのように影響するか？

主な発見

• ヤコビアンの定数ランクrに対応して、定義域と値域の次元が異なる場合（m ≠ n）であっても、関数の値域の最大r成分について内部近似を正確に計算可能である。
• インマージョン例（f: ℝ² → ℝ³）では、εを小さくするにつれて内部近似がより緊密になる。計算時間はε=0.1で0.026秒、ε=0.06で0.10秒、ε=0.02で0.64秒であった。
• サブマージョン例（f: ℝ³ → ℝ²）では、ヤコビアンがフルランクでない領域があるため、計算時間が長くかかっており、ε=0.1で145.53秒、ε=0.05で838.67秒を要した。
• 3つの部分行列抽出手法を比較した結果、SVDベースおよびQRベースの手法が、テスト事例においてグリーディヒューリスティックより優れたランク回復性能を示した。
• 本手法は、定義域全体でヤコビアンのランクが定数rである関数に限定される。ランクの変動があると、局所的可逆性の基本仮定が破綻するため。
• 結果として、高次元の値域に対しても意味のある内部近似が得られ、インマージョンおよびサブマージョンの両例で視覚的妥当性が確認された。