[論文レビュー] General laws of large numbers under sublinear expectations

Feng Hu|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非加法的確率枠組みへ古典的な強法則および弱法則を拡張するため、部分線形期待における大数の法則の一般化を確立する。独立同一分布（i.i.d.）の仮定を緩和することで、上期待と下期待に基づく区間 $[\underline{\mu}, \overline{\mu}]$ への標本平均のほとんど確実な収束を証明し、部分線形期待によって誘導される容量を用いて分布収束を捉える。

ABSTRACT

In this paper, under some weaker conditions, we give three laws of large numbers under sublinear expectations (capacities), which extend Peng's law of large numbers under sublinear expectations in [8] and Chen's strong law of large numbers for capacities in [1]. It turns out that these theorems are natural extensions of the classical strong (weak) laws of large numbers to the case where probability measures are no longer additive.

研究の動機と目的

• 部分線形期待下でのPengおよびChenの大数の法則を、確率変数にi.i.d.仮定を課さずに拡張すること。
• 部分線形期待によって誘導される容量に対する一般化された強法則および弱法則の大数の法則を確立すること。
• 分布が同一でない場合でも、上期待と下期待の観点から標本平均のほとんど確実な極限を特徴付けること。
• 最大分布と部分線形期待理論を用いて、容量における収束を証明すること。
• 非加法的確率を用いたモデル不確実性のモデル化のための強固な枠組みを提供すること。

提案手法

• 部分線形期待空間 $ (\Omega, \mathcal{H}, \mathbb{E}) $ を用い、$ \mathbb{E}[X] = \sup_{P \in \hat{\mathcal{P}}} E_P[X] $ と表現する。ここで $ \hat{\mathcal{P}} $ は確率測度の集合である。
• 曖昧性をモデル化するため、上容量 $ \mathbb{V}(A) = \mathbb{E}[I_A] $ と下容量 $ v(A) = \mathcal{E}[I_A] $（$ \mathcal{E}[X] = -\mathbb{E}[-X] $）を定義する。
• Pengが導入した部分線形期待下での独立同一分布（IID）確率変数の概念を適用する。
• 確率の上限を定めるためのテスト関数 $ f, g \in C_{b,Lip}(\mathbb{R}) $ を構築し、期待値の収束から容量の極限を導出する。
• 部分線形期待の正規性を保証するため、$ \mathbb{E}[X_n] \downarrow 0 $ が $ X_n \downarrow 0 $ のとき成り立つ（仮定H）という条件を用いる。
• 最大分布の概念を用いて、標本平均の極限集合を $ [\underline{\mu}, \overline{\mu}] $ と特徴付ける。ここで $ \underline{\mu} = \inf \mathbb{E}[X_1] $、$ \overline{\mu} = \sup \mathbb{E}[X_1] $ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な強法則の大数の法則は、同一分布を仮定せず、部分線形期待へ拡張可能か？
• RQ2 確率変数が独立であるが同一分布でない場合、部分線形期待下での標本平均 $ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i $ の極限挙動はいかなるものか？
• RQ3 上期待と下期待 $ \mathbb{V} $ と $ v $ は、モデル不確実性の文脈で標本平均の収束をどのように特徴付けるか？
• RQ4 $ \mathbb{V}\left(\limsup_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = \overline{\mu} \right) = 1 $ および $ \mathbb{V}\left(\liminf_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = \underline{\mu} \right) = 1 $ を満たすための条件は何か？
• RQ5 より弱いモーメントまたは従属性の仮定のもとで、部分線形期待によって誘導される容量に対する弱法則の大数の法則を確立できるか？

主な発見

• 部分線形期待下では、同一分布を仮定せずとも強法則の大数の法則が成り立つ：$ \mathbb{V}\left(\limsup_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = \overline{\mu} \right) = 1 $ および $ \mathbb{V}\left(\liminf_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = \underline{\mu} \right) = 1 $。ここで $ \overline{\mu} = \sup \mathbb{E}[X_1] $、$ \underline{\mu} = \inf \mathbb{E}[X_1] $ である。
• 任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して弱法則の大数の法則が成り立つ：$ \lim_{n\to\infty} \mathbb{V}\left( \left| \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - b \right| \leq \varepsilon \right) = 1 $ がすべての $ b \in (\underline{\mu}, \overline{\mu}) $ に対して成立する。
• 標本平均の極限集合はほとんど確実に $ [\underline{\mu}, \overline{\mu}] $ に含まれる。さらに、$ \limsup_{n\to\infty} |S_n|/n \leq \max\{|\overline{\mu}|, |\underline{\mu}|\} < \infty $ が成り立つ。
• 有界リプシッツ関数 $ f $ に対して $ \mathbb{E}[f(S_n/n)] \to \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} f(y) $ が成り立つことは、容量における収束を示唆する。
• 証明は、$ \mathbb{E}[f(S_n/n)] \to 0 $ となるようなテスト関数 $ f $ と $ g $ を構築することに依存し、これにより $ \mathbb{V}(S_n/n \leq \underline{\mu} - \varepsilon) \to 0 $ が得られ、上側尾部に対しても同様の結果が得られる。
• i.i.d. 条件を排除することで、PengおよびChenの法則を一般化し、モデル不確実性下での非同一なが独立な確率変数へ適用可能となる。