[논문 리뷰] General $N$-solitons and their dynamics in several nonlocal nonlinear Schrödinger equations

Jianke Yang|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 04.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 28인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 AKNS 계열에 적용된 통합 리emann-힐베르트 프레임워크를 사용하여, 역공간, 역시간, 역공간-역시간 비국소 비선형 슈뢰딩거 방정식(nonlocal NLS equations)에 대한 일반적인 N-솔리톤 해를 유도한다. 주요 기여는 스펙트럼 평면에서 새로운 고유값 구성의 규명으로, 기초 솔리톤의 비선형 초월(superposition)에 대응하지 않는 다중솔리톤을 드러내며, 반복적인 붕괴 동역학을 보이며, 이 중에서 역공간-역시간 방정식만이 두 솔리톤이 진정한 비선형 초월을 이루는 것으로 나타났다.

ABSTRACT

General $N$-solitons in three recently-proposed nonlocal nonlinear Schrödinger equations are presented. These nonlocal equations include the reverse-space, reverse-time, and reverse-space-time nonlinear Schrödinger equations, which are nonlocal reductions of the Ablowitz-Kaup-Newell-Segur (AKNS) hierarchy. It is shown that general $N$-solitons in these different equations can be derived from the same Riemann-Hilbert solutions of the AKNS hierarchy, except that symmetry relations on the scattering data are different for these equations. This Riemann-Hilbert framework allows us to identify new types of solitons with novel eigenvalue configurations in the spectral plane. Dynamics of $N$-solitons in these equations is also explored. In all the three nonlocal equations, a generic feature of their solutions is repeated collapsing. In addition, multi-solitons can behave very differently from fundamental solitons and may not correspond to a nonlinear superposition of fundamental solitons.

연구 동기 및 목표

• 역공간, 역시간, 역공간-역시간 비국소 NLS 방정식에 대한 일반적인 N-솔리톤 해를 유도하는 것. 이들 방정식에는 이전에 정확한 다중솔리톤 해가 존재하지 않았다.
• 이러한 비국소 방정식이 고전적 국소 NLS 방정식과 다를 때 산란 데이터에서의 대칭 관계의 역할을 명확히 하는 것.
• 이전 연구에서 이러한 해가 존재하지 않음에도 불구하고, 이러한 방정식에서의 다중솔리톤이 기본 솔리톤의 비선형 초월을 나타내는지 조사하는 것.
• 특히 비국소 설정에서 리만-힐베르트 프레임워크 내에서 상반평면과 하반평면의 고유값 수가 다를 경우 발생하는 열린 문제를 해결하는 것.
• 특히 모든 세 비국소 방정식에서 공통적으로 나타나는 반복적인 붕괴 현상이라는 특성에 주목하여 N-솔리톤의 동역학적 행동을 탐구하는 것.

제안 방법

• AKNS 계열에 리만-힐베르트 문제를 적용하여 N-솔리톤 해를 도출하고, 산란 데이터에 특정 대칭 제약 조건을 만족시키는 해를 구성한다.
• 다른 산란 데이터에 대한 대칭 관계—구체적으로 r(x,t) = -q*(−x,t), r(x,t) = -q(x,−t), r(x,t) = -q(−x,−t)—를 도입하여 각각 역공간, 역시간, 역공간-역시간 NLS 방정식을 유도한다.
• 복소 스펙트럼 평면에서 고유값 구성 분석을 통해 새로운 솔리톤 구조를 규명하며, 특히 ℂ₊와 ℂ₋에 있는 고유값이 켤레 쌍이 아니거나 균일하게 분포하지 않는 경우를 포함한다.
• 비국소 대칭 덕분에 상반평면과 하반평면에 있는 고유값 수가 다를 수 있도록, 역산 산란 변환을 비국소 설정으로 확장한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 해의 동역학, 고유값 구성, 시간에 따른 변형되는 솔리톤 프로파일을 시각화하여 다중솔리톤과 기본 솔리톤을 비교한다.
• 비표준 대칭 조건을 가진 리만-힐베르트 문제를 해결함으로써 정확한 N-솔리톤 해를 도출할 수 있으며, 이는 새로운 종류의 솔리톤을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 통합 리만-힐베르트 접근법을 사용하여, 역공간, 역시간, 역공간-역시간 비국소 NLS 방정식에 대한 일반적인 N-솔리톤 해를 도출할 수 있는가?
• RQ2 이러한 비국소 방정식의 산란 데이터에서의 대칭 관계는 고전적 국소 NLS 방정식과 어떻게 다를까?
• RQ3 이 비국소 방정식에서의 다중솔리톤은 기본 솔리톤의 비선형 초월을 나타내는가, 아니면 본질적으로 다른 동역학을 보이는가?
• RQ4 비국소 방정식의 리만-힐베르트 문제에서 상반평면과 하반평면의 고유값 수가 다를 경우 어떤 일이 발생하는가?
• RQ5 왜 비국소 NLS 방정식의 다중솔리톤은 반복적인 붕괴를 보이며, 이 동역학은 국소 방정식의 솔리톤과 어떻게 다를까?

주요 결과

• 역공간, 역시간, 역공간-역시간 NLS 방정식에 대한 일반적인 N-솔리톤 해는 AKNS 계열의 동일한 리만-힐베르트 프레임워크에서 도출되며, 해의 차이는 산란 데이터에 대한 서로 다른 대칭 조건에 기인한다.
• 역공간-역시간 NLS 방정식은 세 방정식 중에서 유일하게 두 솔리톤 해가 두 기본 솔리톤의 비선형 초월에 해당하며, 고유값 구성과 해 프로파일을 통해 확인되었다.
• 역공간 및 역시간 NLS 방정식에서의 다중솔리톤은 기본 솔리톤의 비선형 초월로 행동하지 않으며, 국소 NLS 방정식에서 볼 수 없는 독특하고 새로운 해 패턴을 보인다.
• 반복적인 붕괴는 모든 세 비국소 NLS 방정식의 해에서 일반적인 특성으로 나타나며, 진폭과 파동 프로파일이 시간에 따라 동적으로 변화한다.
• 리만-힐베르트 프레임워크는 ℂ₊와 ℂ₋에 있는 고유값 수가 다를 수 있도록 允허하며, 이는 고유값이 대칭적으로 분포하지 않을 경우, 예를 들어 ℂ₊에 순수 허수 고유값 한 쌍만 존재할 경우 비유계 해를 초래한다.
• 두 고유값이 모두 iℝ₊에 있을 경우 기본 솔리톤은 공간에서 비유계이므로 진정한 솔리톤이 아니며, 이는 고유값 수의 비대칭성이 비솔리톤적이고 발산하는 해를 유도할 수 있음을 보여준다.