[論文レビュー] General PT-Symmetric Matrices

Jia-wen Deng, Uwe Guenther+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2012

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、すべての固有値が実数となる可能性を有する非ヒルベルト行列の3つのクラスを導入し分類する：$π\mathcal{T}$-対称、擬ヒルベルト、一般化$π\mathcal{T}$-対称行列。一般化$π\mathcal{T}$-対称行列が最も一般なクラスであることが示され、すべての自己随伴行列を含み、より豊かなジョルダン標準形構造を許容する。明示的なパラメータ数え上げと$2\times2$の例が提示されている。

ABSTRACT

Three ways of constructing a non-Hermitian matrix with possible all real eigenvalues are discussed. They are PT symmetry, pseudo-Hermiticity, and generalized PT symmetry. Parameter counting is provided for each class. All three classes of matrices have more real parameters than a Hermitian matrix with the same dimension. The generalized PT-symmetric matrices are most general among the three. All self-adjoint matrices process a generalized PT symmetry. For a given matrix, it can be both PT-symmetric and P'-pseudo-Hermitian with respect to some P' operators. The relation between corresponding P and P' operators is established. The Jordan block structures of each class are discussed. Explicit examples in 2x2 are shown.

研究の動機と目的

• 標準的PT対称性を越えて、すべての固有値が実数となる非ヒルベルト行列を体系的に分類すること。
• PT-対称、擬ヒルベルト、一般化PT-対称行列の3つのクラスの構造的およびパrametric特性を比較すること。
• 一般化PT-対称行列が最も一般なクラスであり、すべての自己随伴行列がその特別な場合に含まれることを示すこと。
• 各クラスにおける可能なジョルダンブロック構造を分析し、すべての3つの枠組みで実現可能であることを示すこと。
• 特定の作用素選択下でPT対称性と擬ヒルベルト性の等価性を確立し、それらに対応するパリティ作用素の関係を導出すること。

提案手法

• 結合された対合作用素$\bar{\mathcal{P}}\mathcal{T}$を用いて一般化$π\mathcal{T}$-対称行列を導入し、標準的PT対称性を一般化する。
• 条件$[\bar{\mathcal{P}}\mathcal{T}, H] = 0$を用いて一般化クラスを定義し、すべての自己随伴行列を含むことを示す。
• パラメータ数え上げ：各クラスの$(m+n)\times(m+n)$行列は$(m+n)^2 + 2mn$個の実数パラメータを持ち、同じサイズのヒルベルト行列の$(m+n)^2$個を上回る。
• 計量作用素$W$を条件$WH = H^\dagger W$（$W$はヒルベルト的かつ正定値）により分析し、擬ヒルベルト性と関連付ける。
• 特定の$\mathcal{P}$および$\tilde{\mathcal{P}}$作用素下で、PT-対称と擬ヒルベルト形式の等価性を示す明示的$2\times2$例を構築する。
• ジョルダン標準形解析を用いて、すべての可能なジョルダンブロック構造（対角化可能でない場合を含む）が、すべての3つのクラスで実現可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての固有値が実数となる非ヒルベルト行列の最も一般なクラスは何か？
• RQ2 PT-対称、擬ヒルベルト、一般化PT-対称行列のパラメータ数は、ヒルベルト行列と比べてどのように異なるか？
• RQ3 行列が異なるパリティ作用素$\mathcal{P}$および$\tilde{\mathcal{P}}$に関して、同時にPT-対称かつ擬ヒルベルト的になれるか？その場合、それらの作用素はどのように関係するか？
• RQ4 各クラスで実現可能なジョルダンブロック構造は何か？それらは対角化可能な場合とどのように異なるか？
• RQ5 PT対称性が実固有値を保証する条件は何か？また、いつ自発的対称性破れが生じるか？

主な発見

• 一般化$\bar{\mathcal{P}}\mathcal{T}$-対称行列は、すべての固有値が実数となる非ヒルベルト行列の最も一般なクラスであり、すべての自己随伴行列を含む。
• $(m+n)\times(m+n)$行列がいずれのクラスに属しても、実数パラメータは$(m+n)^2 + 2mn$個であり、同じサイズのヒルベルト行列の$(m+n)^2$個を上回る。
• すべての可能なジョルダンブロック構造（対角化可能および非対角化可能）が、$\mathcal{P}\mathcal{T}$-対称行列および$\tilde{\mathcal{P}}$-擬ヒルベルト行列の両方で実現可能である。
• 行列が異なる作用素$\mathcal{P}$および$\tilde{\mathcal{P}}$に関して、同時に$\mathcal{P}\mathcal{T}$-対称および$\tilde{\mathcal{P}}$-擬ヒルベルト的になれるが、本稿ではそれらの間の明示的関係を導出している。
• $2$次元より高い次元では、自己随伴行列は一般に$\bar{\mathcal{P}}\mathcal{T}$-対称であるが、必ずしも$\mathcal{P}\mathcal{T}$-対称的または$\tilde{\mathcal{P}}$-擬ヒルベルト的ではない。
• 明示的な$2\times2$例により、$\mathcal{P}\mathcal{T}$-対称性と$\tilde{\mathcal{P}}$-擬ヒルベルト性の等価性が確認され、対応するパリティ作用素および正規化因子の閉形式が得られている。