[論文レビュー] Generalised arbitrage-free SVI volatility surfaces

Gaoyue Guo, Antoine Jacquier+2 more|RePEc: Research Papers in Economics|Oct 26, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、任意のアービタージュなしSVIボラティリティサーフェスモデルを一般化し、$ w(k,t) = \theta_t \Psi(k\varphi(\theta_t)) $ という柔軟なパラメータ化を導入する。ここで $ \Psi $ と $ \varphi $ は一般関数である。静的アービタージュ（バイアス・スプレッドおよびカレンダースプレッド）の不在に関する必要十分条件を導出し、滑らかでないインプライド・ボラティリティサーフェスへとフレームワークを拡張し、非-SVIのアービタージュなしサーフェスの明示的例（特に有理関数 $ \Psi_\nu $ を用いた新規クラス）を構築する。主な貢献は、元のSVIフレームワークをはるかに超える、制約なしのアービタージュなしボラティリティサーフェスの広いクラスの確立である。

ABSTRACT

In this article we propose a generalisation of the recent work of Gatheral and Jacquier on explicit arbitrage-free parameterisations of implied volatility surfaces. We also discuss extensively the notion of arbitrage freeness and Roger Lee's moment formula using the recent analysis by Roper. We further exhibit an arbitrage-free volatility surface different from Gatheral's SVI parameterisation.

研究の動機と目的

• ボラティリティサーフェスを $ w(k,t) = \theta_t \Psi(k\varphi(\theta_t)) $ でパラメータ化する一般クラスに、アービタージュなしSVIフレームワークを拡張し、全サーフェスのより柔軟なモデリングを可能にする。
• $ \Psi $ と $ \varphi $ に対する、バイアス・スプレッドおよびカレンダースプレッド・アービタージュの不在を保証する必要十分条件を導出する。
• 対称的（ρ=0）な場合に、Gatheral-Jacquierクラスの制約なしパラメータ化を、正確な許容可能関数 $ \varphi $ の集合を同定することで達成する。
• 滑らかでないインプライド・ボラティリティ関数へと理論を拡張し、微分不能な部分や区分的関数を含むサーフェスであってもアービタージュなしを保つことを可能にする。
• 非-SVIのアービタージュなしボラティリティサーフェスの明示的例を構築し、新フレームワークが元のSVIをはるかに超えて一般であることを示す。

提案手法

• 一般化されたボラティリティサーフェスのパラメータ化を提案：$ w(k,t) = \theta_t \Psi(k\varphi(\theta_t)) $、ここで $ \theta_t $ はATMのトータル・ボラティリティであり、$ \varphi $ は正の関数である。
• アービタージュなしを特徴付ける演算子 $ \mathcal{L} $ を用いて、$ \Psi $ と $ \varphi $ に対する必要十分条件を導出する。アービタージュなしは分布的意味での $ \mathcal{L}w \geq 0 $ の正定性として特徴づけられる。
• RoperのフレームワークとRoger Leeのモーメント公式を適用し、$ \Psi $ の漸近的挙動と、対応する確率分布の有限モーメントの存在を関連付ける。
• 分布的微分を用いて非滑らか関数 $ \Psi $ を扱い、特に2階微分にデルタ関数（Dirac mass）を含む場合（インプライド・ボラティリティサーフェスのキーン）を許容する。
• 明示的例（例：$ \nu \in (1,2) $ の $ \Psi_\nu(z) $）を構築し、$ \mathcal{L}w $ の正定性（微分不能点でも含む）によりアービタージュなしを検証する。
• バイアス・アービタージュを防ぐために $ (u\varphi(u))^{2} \leq 4 $ が十分条件であることを示し、基礎分布の尾部挙動のモーメント公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ \Psi $ と $ \varphi $ に対してどのような一般条件が、$ w(k,t) = \theta_t \Psi(k\varphi(\theta_t)) $ が静的アービタージュなしであることを保証するか？
• RQ2 元のSVIパラメータ化を超えて、滑らかでないか非有理関数形式のものも含む、アービタージュなしボラティリティサーフェスのクラスを拡張可能か？
• RQ3 対称的（ρ=0）な場合に、アービタージュなしを保つために許容可能な関数 $ \varphi $ の正確な集合は何か？
• RQ4 アシンプトティックに線形なインプライド・ボラティリティサーフェスに対して、$ \mathcal{L} $ 演算子を用いてRoger Leeのモーメント公式を解析的に導出可能か？
• RQ5 元のSVIまたはGatheral-Jacquierフレームワークではカバーされない、明示的で非-SVIのアービタージュなしボラティリティサーフェスの例を構築可能か？

主な発見

• 本稿は、分布的意味での条件 $ \mathcal{L}w \geq 0 $ が、一般化されたパラメータ化における静的アービタージュなしの必要十分条件であることを確立した。
• 対称的（ρ=0）な場合、許容可能な関数 $ \varphi $ の正確な集合は、$ \Psi $ が凸であることと、特定の漸近的および微分的条件を満たす必要があるという要件によって特徴づけられる。
• Gatheral-Jacquierクラスの制約なしパラメータ化は、アービタージュなしを保つ関数 $ \varphi $ の完全なクラスを同定することで達成され、以前の結果を拡張した。
• このフレームワークは非滑らかインプライド・ボラティリティサーフェスを扱える：$ \nu \in (1,2) $ の場合、関数 $ \Psi_\nu(z) $ は2階微分にデルタ関数を含むが、結果のサーフェスは依然としてアービタージュなしである。
• 明示的非-SVIアービタージュなしサーフェス（例：$ \Psi(z) = \frac{(z+1)e^{-z}-1}{1-e^{-z}} $）を構築し、これはSVI形式ではないが、すべてのアービタージュ条件を満たす。
• 解析的手法を用いて、漸近的に線形な場合のRoger Leeのモーメント公式を厳密に導出し、$ \sup\{m \geq 0: \mathbb{E}[X^{1+m}] < \infty\} = \frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{4} - 1 + \frac{1}{\alpha}\right) $ が得られ、ここで $ \alpha = \lim_{k \to \infty} v'(k) $ である。