[論文レビュー] Generalised Hermite functions and their applications in Spectral Approximations

Changtao Sheng, Suna Ma+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2020

Numerical methods in engineering被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、任意次元における一般化ヘルメルト関数（GHFs）および随伴一般化ヘルメルト関数（A-GHFs）を導入し、重み付き $L^2$ および分数階ソボレフ内積に関してそれらの直交性を確立する。主な貢献は、A-GHFs を用いたスペクトル・ガレルキン法であり、積分分数ラプラシアン $(-\Delta)^s$ に対して恒等行列となる剛性行列をもたらし、この困難な作用素を含むPDEの効率的かつ高精度なスペクトル近似を可能にする。

ABSTRACT

In 1939, G. Szego first introduced a family of generalised Hermite polynomials (GHPs) as a generalisation of usual Hermite polynomials, which are orthogonal with respect to the weight function $|x|^{2\mu} \e^{-x^2},\mu>-\frac 12$ on the whole line. Since then, there have been a few works on the study of their properties, but no any on their applications to numerical solutions of partial differential equations (PDEs). The main purposes of this paper are twofold. The first is to construct the generalised Hermite polynomials and generalised Hermite functions (GHFs) in arbitrary $d$ dimensions, which are orthogonal with respect to $|\bx|^{2\mu} \e^{-|\bx|^2}$ and $|\bx |^{2\mu}$ in $\mathbb R^d,$ respectively. We then define a family of adjoint generalised Hermite functions (A-GHFs) upon GHFs, which has two appealing properties: (i) the Fourier transform maps A-GHF to the corresponding GHF; and (ii) A-GHFs are orthogonal with respect to the inner product $[u,v]_{H^s(\mathbb R^d)}=((-\Delta)^{\frac s 2}u, (-\Delta)^{\frac s 2} v )_{\mathbb R^d}$ associated with the integral fractional Laplacian. The second purpose is to explore their applications in spectral approximations of PDEs. As a remarkable consequence of the fractional Sobolev-type orthogonality, the spectral-Galerkin method using A-GHFs as basis functions leads to an identity stiffness matrix for the integral fractional Laplacian operator $(-\Delta)^s,$ which is known to be notoriously difficult and expensive to discretise. ....

研究の動機と目的

• 重み $|\mathbf{x}|^{2\mu} e^{-|\mathbf{x}|^2}$ および $|\mathbf{x}|^{2\mu}$ に関して、$d$ 次元空間における一般化ヘルメルト関数（GHFs）および随伴GHFs（A-GHFs）を構築すること。
• フーリエ変換がA-GHFsをそれに対応するGHFsに写像することを確立し、重要な双対性を保証すること。
• A-GHFsが分数階ソボレフ内積 $[u,v]_{H^s(\mathbb{R}^d)}$ に関して直交することを証明し、これにより積分分数ラプラシアンに関連付けること。
• A-GHFs をスペクトル・ガレルキン法に応用し、特に困難な $(-\Delta)^s$ 作用素を含むPDEに適用すること。
• A-GHFs を用いることで、$(-\Delta)^s$ の剛性行列が恒等行列となることを示し、数値解法の大幅な簡素化を実現すること。

提案手法

• 実数直線 $\mathbb{R}$ 上の重み $|x|^{2\mu} e^{-x^2}$ に関して直交多項式として一般化ヘルメルト多項式（GHPs）を構築し、$d$ 次元に拡張する。
• GHFs は $\psi_{\alpha}^{(\mu)}(\mathbf{x}) = H_{\alpha}^{(\mu)}(\mathbf{x}) e^{-|\mathbf{x}|^2/2}$ として定義され、ここで $H_{\alpha}^{(\mu)}$ は $d$ 次元のGHPs である。
• A-GHFs は、各A-GHFが対応するGHFにフーリエ変換で写される双対基底として導入される。
• A-GHFs が分数階ソボレフ内積 $[u,v]_{H^s(\mathbb{R}^d)} = ((-\Delta)^{s/2}u, (-\Delta)^{s/2}v)_{L^2(\mathbb{R}^d)}$ に関して直交することを示し、$H^s$-に基づく変分定式化への応用を可能にする。
• A-GHFs を基底関数として用いたスペクトル・ガレルキン法を定式化し、$(-\Delta)^s$ 作用素に対して剛性行列が恒等行列に一致することを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み $|\mathbf{x}|^{2\mu} e^{-|\mathbf{x}|^2}$ に関して、任意次元において一般化ヘルメルト関数を体系的に構築できるか？
• RQ2 フーリエ変換がそれに対応するGHFs に写像するような随伴一般化ヘルメルト関数（A-GHFs）が存在するか？
• RQ3 A-GHFs が直交する自然な内積が存在するか、特に分数階ソボレフ空間 $H^s(\mathbb{R}^d)$ に関連するものか？
• RQ4 A-GHFs を用いて、積分分数ラプラシアン $(-\Delta)^s$ に対して対角または恒等行列剛性行列をもたらすスぺクトル・ガレルキン法を構築できるか？
• RQ5 このような剛性行列が、$(-\Delta)^s$ を含むPDEのスペクトル近似の効率性および精度に与える影響は何か？

主な発見

• A-GHFs は分数階ソボレフ内積 $[u,v]_{H^s(\mathbb{R}^d)}$ に関して直交し、$H^s$-に基づくPDEの自然な変分的枠組みを提供する。
• フーリエ変換が各A-GHFをその対応するGHFに写像することを示し、解析および計算を簡素化するスペクトル双対性を確立する。
• A-GHFs を基底関数として用いたスぺクトル・ガレルキン法により、積分分数ラプラシアン $(-\Delta)^s$ に対して剛性行列が恒等行列に一致する。これにより、高価な行列構築の必要がなくなる。
• この恒等行列剛性行列は、標準的手法では困難とされる $(-\Delta)^s$ を含むPDEの高効率かつ高精度なスペクトル近似を可能にする。
• 古典的ヘルメルト関数を重み付き・分数階ソボレフ設定に一般化し、非局所PDEに向けた新しいスペクトル法を可能にする。
• この方法は任意次元 $d$ に適用可能であり、重み $|\mathbf{x}|^{2\mu}$ の下でも直交性および双対性の性質が保たれる。