[論文レビュー] Generalised symplectic Schubert classes

Thomas Hudson|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ボット＝サメルソン解体を用いて、代数的コボルディズムの基本的クラスをシンプレクティック・シューベルト多様体に対して計算し、接続的K理論およびチョン・コホモロジーに特殊化可能な普遍的公式を確立する。形式的群法則と一般化された二重シューベルト多項式を用いて明示的なシューベルトクラスの公式を導出し、オリエンテッドコホモロジー理論の普遍的性質に拡張したフォルトンのアプローチを拡張する。

ABSTRACT

Under the assumption that the base field k has characteristic 0, we compute the algebraic cobordism fundamental classes of a family of Schubert varieties isomorphic to full and symplectic flag bundles. We use this computation to prove a formula for the push-forward class of the Bott-Samelson resolutions associated to the symplectic flag bundle. We specialise our formula to connective K-theory and the Grothendieck ring of vector bundles, hence obtaining a description for all Schubert classes.

研究の動機と目的

• 特徴が0の体上のシンプレクティック旗束における最小のシューベルト多様体の代数的コボルディズム基本的クラスを計算すること。
• フォルトンのシューベルトクラスの再帰的メソッドを、代数的コボルディズムの普遍的設定に拡張すること。
• ネストされた旗束の繰り返し的構成に基づく帰納的技法を用いて、シンプレクティック旗束におけるボット＝サメルソン解体の押し出し公式を導出すること。
• 普遍的コボルディズム公式を接続的K理論およびグロチェンディーク環に特殊化し、明示的なシューベルトクラスの表現を導出すること。

提案手法

• 最小のシューベルト多様体から出発し、ネストされたシンプレクティック旗束の族における基本的クラスの帰納的計算を実行する。
• シューベルト多様体の非特異化としてボット＝サメルソン解体を適用し、代数的コボルディズムにおける押し出しを計算する。
• 普遍的形式的群法則および代数的コボルディズムの形式的逆元を用いて、押し出し公式におけるチャーン類の振る舞いを表現する。
• ワイル群の構造と最長元の最小分解に基づき、一般化されたシューベルト多項式を導出する。
• パrameter β を用いて普遍的公式を接続的K理論に特殊化し、新しいクラスのシューベルト多項式を定義する。
• 基底変換および横断的性の議論を用いて、連続する解体および旗束間の押し出しを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック旗束における最小のシューベルト多様体の基本的クラスは、代数的コボルディズムにおいてどのように計算可能か？
• RQ2 ボット＝サメルソン解体の押し出しは、オリエンテッドコホモロジー理論の普遍的設定で表現可能か？
• RQ3 代数的コボルディズムから導かれる接続的K理論におけるシューベルトクラスの公式の構造は何か？
• RQ4 接続的K理論における得られたシューベルト多項式は、チョン・コホモロジーおよびグロチェンディークK理論におけるそれらとどのように関係するか？
• RQ5 シンプレクティックバンドルのランクに依存する一様でパrameter化されたシューベルトクラスの記述は存在するか？

主な発見

• 代数的コボルディズムにおけるシンプレクティック旗束 $\mathcal{F}\ell^{\text{C}}V_m$ の基本的クラスは、形式的群法則の演算によるチャーン類の積で与えられる：$[\mathcal{F}\ell^{\text{C}}V_m]_{\Omega} = \prod_{i+j\leq n,\,1\leq j\leq n-m} F_{\Omega}(x_i, \chi_{\Omega}(y_j)) \cdot \prod_{\cdots}$。
• ボット＝サメルソン解体 $\mathcal{R}_I$ の代数的コボルディズムにおける押し出しクラスは、横断的性と帰納的技法を用いて計算され、$\mathcal{R}_I = \overline{A_j}(\mathcal{S}\mathfrak{B}^{(n)}_{I'}(c_1(M_k^{(n)}), c_1(L_j^\vee)))$ を得る。
• 接続的K理論において、シューベルトクラス $[\Omega_w^{(n)}]_{CK}$ は $\mathcal{S}\mathfrak{H}_w^{(n)}(c_1(M_i^{(n)}), c_1(L_j^\vee))$ で与えられ、ここで $\mathcal{S}\mathfrak{H}_w^{(n)}$ はパrameter β を持つ一般化された二重シューベルト多項式である。
• チョン・コホモロジークラス $[\Omega_w^{(n)}]_{CH}$ は、接続的K理論の公式において β = 0 と置くことで得られ、$\mathcal{S}\mathfrak{S}_w^{(n)}(c_1(M_i^{(n)}), c_1(L_j^\vee))$ を得る。
• グロチェンディークK理論クラス $[\mathcal{O}_{\Omega_w^{(n)}}]_{K^0}$ は、β = -1 と置くことで得られ、$\mathcal{S}\mathfrak{G}_w^{(n)}(c_1(M_i^{(n)}), c_1(L_j^\vee))$ を得る。
• シューベルト多項式 $\mathcal{S}\mathfrak{H}_w^{(n)}$ は明示的に n に依存しており、ランクに依存しない一様な記述は存在しない——例えば、$\mathcal{S}\mathfrak{S}_{(\overline{1},1)}^{(1)} = -x_1 + y_1$ であるが、$\mathcal{S}\mathfrak{S}_{(\overline{1},1)}^{(2)} = -x_1 - x_2 + y_1 + y_2$ である。